Question

已知数列｛an}满足a1=1，an=1/a(n-1)+1(n≥2),求｛an}的通项公式。

Answer 1

像你举出的这个数列问题可以归纳为一类问题,即分数型递推式.这类问题的解决常用的办法是不动点方法.因为递推式是an+1=f(an)形式的,令x=f(x),得到方程x^2-x-1=0,则它的两个根分别为
x1=(√5+1)/2，x2=(1-√5)/2。在递推式两边同时减去x1,得到an+1-x1=x2*(an-x1)/an,同理可得到
an+1-x2=x1*(an-x2)/an,两式相除得(an+1-x1)/(an+1-x2)=(x2/x1)*(an-x1)/(an-x2)，
令bn=(an-x1)/(an-x2)，则有bn+1=(x2/x1)*bn,等比数列应该很好解吧，bn=(x2/x1)^n，最后结果是
an=(x2^(n+1)-x1^(n+1))/(x2^n-x1^n)，关于用不动点方法求解数列通项可查阅相关资料。