Question

已知函数f(x)=|x-2|-|x-5| ⑴证明-3<=f(x)<=3 ⑵求不等式f(x)>=x^2-8x+15的解集

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Answer 1

已知函数f(x)=|x-2|-|x-5| ⑴证明-3<=f(x)<=3 ⑵求不等式f(x)>=x^2-8x+15的解集
遇到了含绝对值的函数，不般将其写成分段函数的形式
(1)证明：∵函数f(x)=|x-2|-|x-5|
(x<2), f(x)=2-x+x-5=-3
(2<=x<5), f(x)=x-2+x-5=2x-7
(x>=5),f(x)=x-2-x+5=3
∴函数f(x)的值域为-3<=f(x)<=3
(2)解析：
(x<2), f(x)=-3==> x^2-8x+15<=-3==> x^2-8x+18<=0
∵⊿=64-72=-8<0
∴无实解
(2<=x<5), f(x)=2x-7>= x^2-8x+15==> x^2-10x+22<=0==>5-√3<=x<=5+√3
∴5-√3<=x<5
(x>=5),f(x)=3>= x^2-8x+15==> x^2-8x+12<=0==>2<=x<=6
∴5<=x<=6
综上：不等式f(x)>=x^2-8x+15的解集为5-√3<=x<=6

Answer 2

（1）x<=2,f(X)=2-x-(5-x)=-3
2<x<=5,f(X)=x-2-(5-x)=2x-7, 2x-7递增函数， -3<f(X)<=3
x.>5,f(x)=x-2-(x-5)=3
综上所述：-3<=f(x)<=3
（2)设)h(x)=x^2-8x+15,该曲线开口向上，最小值为h(4)=-1,
f(x)>=h(x),当x<=2，f(X)=-3，无解
当2<x<=5，f(X)=2x-7，2x-7>=x^2-8x+15,解得 ……
当 x.>5，f(x)=3,3>=x^2-8x+15,解得……
求合集即可：（第二问，其实画图解，最容易）

Answer 3

解
如果x<2,则f(x)=(2-x)-(5-x)=2-x-5+x=-3为最小;
如果2<=x<=5,则f(x)=(x-2)-(5-x)=2x-7.把x代入得f(x)>=-3且<=3
同理:如果x>5,则f(x)=3为最大