Question

求与y轴相切 且与圆(x-2)^2+y^2=4相外切的动圆圆心轨迹方程

Answer 1

解：设动圆的圆心M（x，y）。
∵○M与y轴相切，∴半径R=|x|
又M到已知圆C的圆心C（2，0）的距离d=√【（x﹣2）²+y²】
由两圆相切的充要条件d=R+r得
√【（x﹣2）²+y²】=|x|+2
两边平方、移项、化简得
M的轨迹方程为y²=4x+4|x|
即y=0，x＜0
y=8x，x＞0，
x=0时不存在此动圆
第一种情况很重要，不能舍去！！！

当然，此题也可用纯粹的几何方法，但要分情况讨论。
1）若x＞0，动点M到定点C的距离d1，和M到y轴的距离d2满足关系d1=d2+2
因此可作辅助直线l：x=﹣2，M到l的距离d3=d2+2=d1
这满足抛物线的几何定义，焦点F（2，0），准线x=﹣2
因此M的轨迹是y²=8x
2）若x＜0，动点M到定点C的距离d1，和M到y轴的距离d2满足关系d1=d2+2
所以直线MC与y轴、○C必须交于一点，否则上述关系不能成立。
而容易验证○C与y轴相切于原点O，因此M必须在OC上，即M的轨迹是x负半轴

这两种方法各有优缺点。第一种方法，计算量大，容易出错，但不需分类；第二种方法，不需要计算，但容易忽略第2种情况，而且，必须对圆锥曲线的几何性质非常熟悉。
希望对楼主有用