Question

在三角形中 b²＝c²➕ac 若∠C＝9∠A b＝2 求a

Answer 1

题中给出：b²=a²+ac（提问者标题中的算式写错了）

根据三角形余弦定理：b²=a²+c²-2ac·cosB

两式相减，得到：c²=ac+2ac·cosB

即：c=a+2a·cosB

即：c/a=1+2cosB

又根据三角形正弦定理：a/sinA=c/sinC，即：c/a=sinC/sinA

得：sinC/sinA=1+2cosB

即：sinC=sinA+2sinAcosB

又：sinC=sin(180°-C)=sin(A+B)

即：sinA+2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

即：sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A)

正弦值相等有两种可能：

①：A=B-A，或②：A+(B-A)=(2n+1)π（n为整数）

将②式化简得到：B=(2n+1)π，不符合三角形内角要求，舍去，因此只剩下：

B=2A

加上题中给出C=9A，及三角形内角和公式：A+B+C=180°，可解得：

A=15°，B=30°，C=135°

根据三角形正弦定理，有：

a=b·sinA/sinB=2sin15°/sin30°=4sin15°

sin15°可由半角公式（若没学半角公式，可用二倍角公式反推）计算

【注】因为15°在第一象限，因此上述计算开根号时已省略负值。

将sin15°数值代入，得到：

a=4sin15°=√6-√2

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示

Answer 3

由余弦定理，4=a^2+c^2-2accosB=c^2+ac,①
整理得a=c+2ccosB,
由正弦定理，a=csinA/sinC,
所以1+2cosB=sinA/sinC,
sinC+2sinCcosB=sinA,
C=9A,B=π-10A,
所以sin9A-2sin9Acos10A=sinA,
sin9A-(sin19A-sinA)=sinA,
所以sin9A=sin19A,
9A+19A=π，A=π/28，C=9π/28，c=asin(9π/28）/sin(π/28)
代入①，得4=a^2[sin^(9π/28）/sin^(π/28)+sin(9π/28）/sin(π/28)]
=a^2*sin(9π/28）[sin(9π/28）+sin(π/28)]/sin^(π/28),
a^2=4sin^(π/28)/{sin(9π/28）[sin(9π/28）+sin(π/28)]}
所以a=2sin(π/28)/√{sin(9π/28）[sin(9π/28）+sin(π/28)]}。