Question

垂直于x轴向量说明什么

Answer 1

如果a、b是两个向量，a=（a1,a2） b=（b1,b2）。a垂直b那么说明a1b1+a2b2=0。

证明：

①几何角度：

向量A (x1,y1),长度 L1 =√(x1²+y1²)。

向量B (x2,y2),长度 L2 =√(x2²+y2²)。

（x1,y1）到(x2,y2)的距离：D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]。

两个向量垂直,根据勾股定理：L1² + L2² = D²。

∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²。

∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²。

∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2。

∴ x1x2 + y1y2 = 0。

②扩展到三维角度：

x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,那么向量(x1,y1,z1)和（x2,y2,z2）垂直。

综述，对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是：L1×L2=0 成立。

平面向量数乘公式：

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。

当λ>0时，λa的方向和a的方向相同。

当λ<0时，λa的方向和a的方向相反。

当λ = 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。

设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：

(λμ)a= λ(μa)。

(λ + μ)a= λa+ μa。

λ(a±b) = λa± λb。

(－λ)a=－(λa) = λ(－a)。

|λa|=|λ||a|。