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如图,已知AC、AB、BC是⊙O的弦,CE是⊙O的直径,CD⊥AB于点D.?
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解题思路:(1)由CE是⊙O的直径,可得∠CAE=90°,又由CD⊥AB,根据同角的余角相等,可得∠BAE=∠ACD,然后由圆周角定理,可得∠BAE=∠BCE,继而证得:∠ACD=∠BCE;
(2)首先证得△ACE∽△DCB,即可得CD:BD=12:5,然后由△ACD∽△FBD,即可求得BF长.
(1)证明:∵CE是⊙O的直径,
∴∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠BAC+∠ACD=90°,
∴∠BAE=∠ACD,
∵∠BAE=∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE;
(2)∵∠ACD=∠BCE,
即∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD,
∴∠ACE=∠BCD,
∵∠CAE=∠CDB=90°,
∴△ACE∽△DCB,
∴AC:DC=AE:DB,
∵在Rt△ACE中,AC=12,CE=13,
∴AE=
CE2−AC2=5,
∴CD:BD=AC:AE=12:5,
∵∠CAB=∠F,∠ACD=∠ABF,
∴△ACD∽△FBD,
∴AC:BF=CD:BD=12:5,
∴BF=[5/12]×12=5.
,2,如图,已知AC、AB、BC是⊙O的弦,CE是⊙O的直径,CD⊥AB于点D.
(1)求证:∠ACD=∠BCE;
(2)延长CD交⊙O于点F,连接AE、BF,AC=12、CE=13,求BF长.
(2)首先证得△ACE∽△DCB,即可得CD:BD=12:5,然后由△ACD∽△FBD,即可求得BF长.
(1)证明:∵CE是⊙O的直径,
∴∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠BAC+∠ACD=90°,
∴∠BAE=∠ACD,
∵∠BAE=∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE;
(2)∵∠ACD=∠BCE,
即∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD,
∴∠ACE=∠BCD,
∵∠CAE=∠CDB=90°,
∴△ACE∽△DCB,
∴AC:DC=AE:DB,
∵在Rt△ACE中,AC=12,CE=13,
∴AE=
CE2−AC2=5,
∴CD:BD=AC:AE=12:5,
∵∠CAB=∠F,∠ACD=∠ABF,
∴△ACD∽△FBD,
∴AC:BF=CD:BD=12:5,
∴BF=[5/12]×12=5.
,2,如图,已知AC、AB、BC是⊙O的弦,CE是⊙O的直径,CD⊥AB于点D.
(1)求证:∠ACD=∠BCE;
(2)延长CD交⊙O于点F,连接AE、BF,AC=12、CE=13,求BF长.
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