Question

已知{an}前n项和为Sn，a1=二分之一，Sn=n^2an-n（n-1），n=1,2,3......

1.证明：数列{（（n+1）/n）Sn是等差数列，并求Sn；
2,。设bn=Sn/n^3，求证：b1+b2+b3+......+bn<1

Answer 1

Sn=n^2an-n（n-1）
Sn/n=nan - n(n-1)
Sn/n=n(Sn-Sn-1)-(n-1)
(1-n^2)/n Sn=-nSn-1--(n-1)
n+1/n Sn==-nSn-1/1-n --n-1/1-n
n+1/n Sn --n/n-1 Sn-1=1
所以数列{（（n+1）/n）Sn是等差数列
S1=a1. n+1/n Sn=2S1+n-1=n 所以Sn=n^2/n+1
证明：bn=1/n(n+1)=1/n -1/n+1
b1+b2+b3+......+bn=1-1/2+1/2-1/3+.....1/n-1/n+1
=n/n+1 <1