Question

立体几何中的向量方法 [如何在立体几何中用好空间向量]

Answer 1

　　立体几何是高考的必考内容，而且题目越来越难，教学中我发现学生遇到了很多障碍，如如何做辅助线，射影落在什么位置，如何找线面角、二面角等等。因此，我也不断探索，不断反思：立体几何该如何引入，该如何培养学生的立体感。现在新教材中有了空间向量，空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不需要添加复杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算来解决立体几何问题，这样可以使问题坐标化、符号化、数量化。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角（“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。那么，是不是越早讲，学生越早受益呢？通过实际的教学，我发现，讲得太早的话，会影响学生空间想象力的建立。我认为，空间向量不该讲得太早。在学习立体几何这一章的过程中应该重在培养学生的想象力，在学生的想象力建立了以后，在高三时再讲，会使学生感觉到：原来还有一种更简单的解决立体几何问题的方法。这时候学生有了基础，遇到问题时，不仅会利用传统的方法，又会利用空间向量解决，同时又不乏想象力。
　　现在新教材设计得很好，空间向量作为选修四出现，《数学课堂标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题。这样的调整，将使学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习、工作、生活打下更好的基础。
　　为了让学生在学立体几何时很好地利用空间向量，下面我就结合自己的教学经验，谈几点想法。
　　1.与平面向量联系起来。本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深” 的认识发展过程。例如，在平面向量中的一些运算律在空间向量中也可以用，比如加法的结合律、交换律，但有些不可以，比如平面向量的数量积满足交换律，运算结果是实数，但空间向量的数量积不满足交换律，运算结果是向量。这样学生既可以复习平面向量的知识，又可以很容易理解空间向量。所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
　　2.强调用空间向量解决问题的步骤：（1）向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元素用向量表示，进行向量运算，再回归到几何问题。这种“三步曲”式的解决问题过程，在数学中具有一般性。（2）三步曲：空间向量表示几何元素→利用向量运算研究几何元素间的关系→把运算结果翻译成相应的几何意义。（3）向量运算时注意其几何意义，联系几何问题（如三垂线定理及其逆定理等）加深对有关运算的认识。
　　3.再次提升。（1）在高二学习立体几何时中，已经讨论过空间中直线、平面的平行、垂直等位置关系，当时没有对相关判定定理进行证明，只证明了相关性质定理。（2）本章以三垂线定理、线面垂直的判定定理为例，用向量方法对其进行证明，然后指出运用向量方法可以证明关于线面位置关系的其他判定定理，并引导学生进行尝试。这样可以加强所学前后知识的联系，提高对空间位置关系的认识水平，这就避免了刚开始就用空间向量解决问题而使学生丧失想象力的弊端，也使学生在高二的基础上提高了一步。
　　4.数与形的有机结合。向量的特征之一是其本身具有数与形两重含义。本章教学中，除了要关注前面多次提及的知识纵向联系之外，还要特别关注知识的横向联系，从不同角度研究同一问题，认识与运用向量及其运算中数与形的关联。教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体的模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背。
　　5.根据特点选择方法。重视综合方法、向量方法、坐标方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题；向量方法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，我们要根据它们的具体条件和特点选择合适的方法。
　　6.注重计算方面的训练。由于用空间向量解决问题需要的计算量比较大，计算水平又不高，所以应在计算方面进行一些必要的训练。
　　总之，学习空间向量是为了更好地解决立体几何的问题，学生有先入为主的观念，总想用“旧”方法，忽视“新”方法的应用，没有掌握两种方法的特征及适用特点，导致做题不顺利，所以本章的教学应突出重点。不是把立体几何问题本身作为重点，而是把具体的立体几何问题作为学习向量方法的载体，以向量方法作为主要教学目标，使学生能够很好地解决立体几何的问题。