Question

an=(2n+1)3^n,求数列{an}的前n项和

Answer 1

An = 2n * 3^n + 3^n
那么，这个数列前 n 项的和 Sn 有：
Sn = 2∑n * 3^n + ∑3^n
= 2Sn1 + Sn2
可以看出来 Sn2 是一个等比数列的和：
Sn2 = ∑3^n
对于数列的和 Sn1 ，有：
Sn1 = ∑n * 3^n = 1*3 + 2*3² + 3 * 3³ + …… + n * 3^n
3 * Sn1=∑n*3^(n+1) = 1 * 3² + 2 * 3³ + …… + (n-1)*3^n + n * 3^(n+1)
那么，把上面的两个等式错位相减，可以得到：
-2Sn1 = 1 * 3 + 1 * 3² + 1 * 3³ + …… + 1 * 3^n - n * 3^(n+1)
= ∑3^n - n * 3^(n+1)
那么：
2Sn1 = n * 3^(n+1) - ∑3^n
因此：
Sn = 2Sn1 + Sn2
= n * 3^(n+1) - ∑3^n + ∑3^n
= n * 3^(n+1)
希望能够帮到你！

Answer 2

错位相减法。注意运算过程。

供参考，请笑纳。

Answer 3

首先，我们可以写出数列 {an} 的前 n 项：
a1 = (2⋅1+1)3^1 = 9
a2 = (2⋅2+1)3^2 = 81
a3 = (2⋅3+1)3^3 = 729
...
an = (2n+1)3^n
接下来，我们可以使用求和公式来求数列的前 n 项和。
首先，求出数列的通项公式：
an = (2n+1)3^n = 2n3^n + 3^n
因此，Sn = a1 + a2 + ... + an 可以写成：
Sn = (2⋅1+1)3^1 + (2⋅2+1)3^2 + (2⋅3+1)3^3 + ... + (2n+1)3^n
= (2×1×3^1 + 2×2×3^2 + 2×3×3^3 + ... + 2n×3^n) + (3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^n)
= 3[2×1×3^(1-1) + 2×2×3^(2-1) + 2×3×3^(3-1) + ... + 2n×3^(n-1)] + [3^n - 3^0]
= 3[Σ(k=1->n) 2k3^(k-1)] + (3^n - 1)
其中，Σ 表示求和符号。
根据等比数列的求和公式可以得到：
Σ(k=1->n) r^(k-1) = (1 - r^n) / (1 - r)
因此，上面的式子可以进一步化简为：
Sn = 3[2⋅(3^n-1)/2 + 2⋅2⋅(3^n-1)/2 + 2⋅3⋅(3^n-1)/2 + ... + 2n⋅(3^n-1)/2] + (3^n - 1)
= (3^n - 1)⋅[(2⋅1 + 2⋅2 + 2⋅3 + ... + 2n⋅n)/2 + 1]
= (3^n - 1)⋅[(n+1)^2]
因此，数列 {an} 的前 n 项和可以表示为 (3^n - 1)⋅[(n+1)^2]。