Question

如果关系R和S是自反的、对称的、可传递的，证明：R∩S也是自反的、对称的、可传递的．

Answer 1

【答案】：设R和S是集合A上的具有自反性、对称性和可传递性的关系．对任意a∈A，因为〈a，a〉∈R，〈a，a〉∈S，所以〈a，a〉∈R∩S，故R∩S是自反的．
对任意a，b∈A，若〈a，b〉∈R∩S，则〈a，b〉∈R且〈a，b〉∈S．因为R和S都是对称的，所以〈b，a〉∈R且〈b，a〉∈S，因此〈b，a〉∈R∩S，故R∩S是对称的．
对任意a，b，c∈A，若〈a，b〉∈R∩S，〈b，c〉∈R∩S，则〈a，b〉∈R，〈b，c〉∈R，〈a，b〉∈S，〈b，c〉∈S，因为R和S都是可传递的，所以〈a，c〉∈R，〈a，c〉∈S，因此〈a，c〉∈R∩S，故R∩S是可传递的．