Question

如图所示在三角形ABC中D为AC上一点CD=2AD角BAC=45角BDC=60CE垂直BD，E为垂足连接AE （

如图所示在三角形ABC中D为AC上一点CD=2AD角BAC=45角BDC=60CE垂直BD，E为垂足连接AE

（1）写出相等线段，并证明其中一条

（2）图中有无相似三角形？若有 请写一对 若没有 请说明理由

Answer 1

第一个问题：
相等的线段有：①AD＝ED；②AE＝BE＝CE。
一、证明：AD＝ED。
　　∵CE⊥DE、∠CDE＝60°，∴ED＝CD/2，又CD＝2AD，∴AD＝ED。
二、证明：AE＝CE。
　　∵AD＝ED，∴∠EAC＝∠DEA，又∠CDE＝60°，
　　∴由三角形外角定理，有：∠EAC＋∠DEA＝∠CDE＝60°，∴∠EAC＝30°。
　　∵CE⊥DE、∠CDE＝60°，∴∠ECA＝30°。
　　由∠EAC＝30°、∠ECA＝30°，得：∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE。
三、证明：AE＝BE。
　　∵∠BDC＝60°、∠BAC＝45°，∴由三角形外角定理，有：∠EBA＋∠BAC＝∠BDC，
　　∴∠EBA＋45°＝60°，∴∠EBA＝15°。
　　又∠EAB＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°。
　　由∠EBA＝15°、∠EAB＝15°，得：∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE。

第二个问题：
图中有一对相似三角形，即：△ADE∽△AEC。
∵∠DAE＝∠EAC、∠DEA＝∠ECA＝30°，∴△ADE∽△AEC。