Question

求证a+b+c≥3（abc）^1/3，a,b,c,为正实数。

Answer 1

引入正数x、y、z，显然有：（x－y）^2≧0，　∴x^2－2xy＋y^2≧0，　∴x^2＋y^2≧2xy。
同理，有：x^2＋z^2≧2xz、　y^2＋z^2≧2yz。

显然还有：（x＋y）（x－y）^2≧0，　∴（x^2－y^2）（x－y）≧0，
∴x（x^2－y^2）－y（x^2－y^2）≧0，　∴x^3－xy^2－x^2y＋y^3≧0，
∴x^3＋y^3≧x^2y＋xy^2。
同理，有：x^3＋z^3≧x^2z＋xz^2、　y^3＋z^3≧y^2z＋yz^2。
于是：
（x^3＋y^3）＋（x^3＋z^3）＋（y^3＋z^3）≧（x^2y＋xy^2）＋（x^2z＋xz^2）＋（y^2z＋yz^2），
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧（x^2y＋yz^2）＋（xy^2＋xz^2）＋（x^2z＋y^2z），
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧y（x^2＋z^2）＋x（y^2＋z^2）＋z（x^2＋y^2），
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧y（2xz）＋x（2yz）＋z（2xy）＝6xyz，
∴x^3＋y^3＋z^3≧3xyz。
令上式中的x^3＝a、y^3＝b、z^3＝c，得：xyz＝（abc）^（1/3），
∴a＋b＋c≧3（abc）^（1/3）。

追问

可不可以用高中的做法，我看不懂哎！

追答

这已经是很基础的了。当然，如果能记住下面的公式，问题就简单多了。
x^3＋y^3＋z^3－3xyz＝（x＋y＋z）（x^2＋y^2＋z^2－xy－xz－yz）。
∵x^2＋y^2＋z^2－xy－xz－yz
＝（1/2）［（x^2－2xy＋y^2）＋（x^2－2xz＋z^2）＋（y^2－2yz＋z^2）］
＝（1/2）［（x－y）^2＋（x－z）^2＋（y－z）^2］≧0。
而x、y、z是正数，∴x^3＋y^3＋z^3－3xyz≧0，∴x^3＋y^3＋z^3≧3xyz。
令上式中的x^3＝a、y^3＝b、z^3＝c，得：a＋b＋c≧3（abc）^（1/3）。

本题还可以用排序不等式证明：
不失一般性，令x≧y≧z＞0，则有：x^2≧y^2≧z^2＞0。
由排序不等式：顺序和不小于乱序和。有：
x^3＋y^3＋z^3≧x^2y＋y^2z＋z^2x、　x^3＋y^3＋z^3≧x^2z＋y^2x＋z^2y。
两式相加，得：
2（x^3＋y^3＋z^3）≧x（y^2＋z^2）＋y（x^2＋z^2）＋z（x^2＋y^2），
而y^2＋z^2≧2yz、　x^2＋z^2≧2xz、　x^2＋y^2≧2xy。
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧xyz＋xyz＋xyz＝6xyz，
∴x^3＋y^3＋z^3≧3xyz。
令上式中的x^3＝a、y^3＝b、z^3＝c，得：a＋b＋c≧3（abc）^（1/3）。

Answer 2

x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)
2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz) = (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2 >=0
所以x^3+y^3+z^3-3xyz >= 0

追问

你是利用了立方和对吗？？？

追答

x^3+y^3+z^3-3xyz的分解需要一些技巧,不过百度一下就可以找到答案