Question

高中物理问题，求高手解答！！！

小球以V的速度水平向右运动，当V满足什么样的条件时，小球从半圆轨道上掉下来且通过圆心？（圆的半径为R）如图：

Answer 1

我的方法和3楼的差不多.你先在轨道右上方画出一个点，随便找个点就行，设这个店就是离开的点，然后标出速度方向，也就是经过此点的圆的切线，剪头指向左上方。连接此点和圆心，角度设为a，然后把此刻速度分解成竖直的v1cosa和水平的v1sina。然后你看，此刻小球具有动能和势能，势能就是R（1+sina）,我想只要你画好图，然后过圆心做水平的线，和过离开点做垂直于这条线的垂线，你就能很明白的看出水平上上方的高度是Rsina了。
先用能量守恒，初能量为1/2mv^2，离开轨道时的能量为1/2mv1^2+mgR(sina+1)
然后此刻再列出两个运动学公式，一个是水平方向的：R=v1sinat
一个是竖直方向的-v1cosat+1/2gt^2=Rsina
然后把第二个式子写成t=R/v1sina的形式，把这个式子代入三式中，你就会得到一个公式：
-cotaR+gR^2/2(sina)^2v1^2=Rsina
然后把-cotaR移到右面，变成gR^2/2(sina)^2v1^2=Rsina+cotaR
然后把v1^2移到右面，把右面的移到左面，这样变成了gR^2/2(sina)^2（Rsina+Rcota）=v1^2
这就是v1的表达式，然后把这个表达式代入到第一个式子里，吧v1消掉，这样就会把v的式子求出来了
化简结果为v^2=gR^2/2Rsina(sina^2+cosa)+2gR(sina+1)
然后结果就是根号下的整个右面了。

追问

我算来算去都不知道sina和cosa这两个因式怎样消掉，三楼给的方法我也没有找到比较好的方法完整地解答，虽然说三个方程三个未知数是可以求解的，可是实际上很难算出来，或者说是算不出来的。这个题目是当时在高中物理资料《金太阳》上看到的，不记得答案了，感谢你详细的讲解。

追答

费劲死了，笨死了，我可以撞墙了。
答案我解出来了，是根号下【（2+根号下（3））gR】
我忘了分析一个圆周运动的公式了。
注意，在马上要离开轨道的时候，此刻应该是重力的分力做向心力，也就是说mgcosa=mv(2)^2/R
这样四个式子就出来了：刚才的式子可以化简成gRsina=v(2)^2
然后是两个运动学方程：
Rcosa=v(2)sinat
Rsina=-v(2)cosat+(1/2)gt^2
然后是动能定理
(1/2)mv(1)^2-(1/2)mv(2)^2=mgR+mgRsina
动能定理的简化一下为v1^2=v(2)^2+2gR+2gRsina
然后看第一个圆周运动的式子，把v2^2代入动能定理的式子就可以得到v(1)^2=2gR+3gRsina
然后我们发现这个动能定理的式子要是能把sina求出来就一切解决了
然后运动学的两个式子，把第一个式子变形成t=Rcosa/v(2)sina
把t代入第二个式子可以看到：Rsina=-Rcosa^2/sina+gR^2cosa^2/2v(2)^2sina^2
然后把v(2)^2替换成gRsina，这样式子就变成了sina=-cosa^2/sina+cosa^2/2sina^3
然后左右两边同时乘以2sina^3
2sina^4=-2cosa^2sina^2+cosa^2
把cosa^2变成1-sina
这样上边的式子就变成了2sina^4=1-sina^2-2sina^2+2sina^4
正好发现四次方的量都消掉，只有sina^2=1/3
很明显a在0到90度之内，所以只能是正值，所以sina=三分之根号三
记得动能定理的简化吗？v(1)^2=2gR+3gRsina
把sina=根号(3)/3代入得到（2+根号三）gR=v(1)^2
那么v(1)就是你要求的量就是根号下【（2+根号三）gR】
楼主，这么晚才想到，别介意啊。。。。

Answer 2

到最高点速度为0
那么小球就掉下来，对不对，而且刚好通过圆心
那么从最低点到最高点
是不是，动能变为0了，而重力势能增大了
根据机械能守恒
就推出1/2mv^2=2mgR
所以v=2根号（gR）

追问

小球不能可到达最高点啊，小球在中途就掉下来了啊，不然它就不可能通过圆心了

追答

我再想想~~~

Answer 3

1/2V0^2-1/2V^2=1/2mGh

V0sinat=R/tana

Answer 4

小球自由落体到球心的时间等于以速度V水平运动到球心的时间

追问

这个时间关系是如何确定的？？不是很明白

追答

sorry，刚才没看到图，自己画了一个图，分析错了，嘿嘿，要是这张图的话，你可以用能量法做，就是说小球到达球上顶点的时候速度为零，这样小球就会自由落体经过球心！即：1/2*m*v2=mg*2r

Answer 5

我算了个答案，等下发过程
Sqr(gR(2+3/sqr(2)))

追问

能发个求解过程就最好了

追答

我晕啊图片太扯了，算了打出来吧
设离开瞬间小球速度与竖直夹角a,速度v1
离开瞬间，小球受到支持力为0,，重力分量提供向心力：
mgsina = mv1(2)/R...............................(1)
之后做斜抛运动，初速度v1，设经时间t到达圆心，则有：
水平方向：v1sina*t = Rcosa.............................(2)
竖直方向：-v1cosa*t + 1/2gt(2) = Rsina............(3)
由（1）（2）（3）解得 a = ..................，v1 = .................
再有动能定理，小球在内壁上运动的过程有：
1/2m(v(2) - v1(2)) = mgR(1+sina).....................(4)
得v = .............
注：v（2）表示v的平方

呃结果自己算吧，我给的貌似有点问题

追问

我算了一通，要么是时间t没办法消掉，要么是sina或cosa没办法消掉，一句话就是算不出来，不知道高手你是怎样算的~交流~~

追答

晕，你用（3）式除以（2）式就可以算出t，代回（2）得到v1和a的另一个关系，与（1）联立，即可求得v1和a的，试试
对了，注意sina(2)/cosa + cosa = 1/cosa