Question

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交AB于点F，∠ADC的平分线DG交边AB

1. 求证：AF=GB
2. 请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由。

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC、AB∥DC，∴∠AGD＝∠CDG、∠BFC＝∠DCF。
由∠ADG＝∠CDG、∠AGD＝∠CDG，得：∠ADG＝∠AGD，∴AD＝AG。
由∠BCF＝∠DCF、∠BFC＝∠DCF，得：∠BFC＝∠BCF，∴BC＝BF。
由AD＝BC、AD＝AG、BC＝BF，得：AG＝BF，∴AF＋FG＝FG＋BG，∴AF＝BG。

第二个问题：
∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
而∠EDC＝∠ADC/2、∠ECD＝∠BCD/2，∴∠EDC＋∠ECD＝90°，∴∠CED＝90°，
∴∠FEG＝90°。
∴要使△EFG是等腰直角三角形，就需要∠EFG＝∠EGF＝45°，这样就有：
∠CDG＝∠DCF＝45°，从而有：∠ADC＝∠ACD＝90°，∴ABCD就应该是矩形。
∴需要添加的条件可以是下列当中的一项：①∠A＝90°；　②AC＝BD。

Answer 2

解：在平行四边形ABCD中
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADG=∠CDG，
又∵∠AGD=∠CDG，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG．
同理BF=BC，
∴BF=AG，
即AF=BG；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时，△GEF是等腰直角三角形，
∵∠DCF=∠CDG=45°，
∴∠EFG=∠EGF=45°，
∴△GEF是等腰直角三角形