Question

设函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax(a不等于0)求f(x)的单调递增区间,求使f(x)小于等于e^2对x属于[1,e]恒成立的a的值

设函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax(a不等于0) 1.求f(x)的单调递增区间 2.求使f(x)小于等于e^2对x属于[1,e]恒成立的a的值

Answer 1

f(x)=a^2lnx-x^2+ax
f'(x)=a²/x-2x+a
令f'(x)>0,a²/x-2x+a>0
2x²-ax-a²<0
当a>0时，-a/2<x<a,0<x<a,f(x)的单调递增区间(0,a)
当a<0时，a<x<-a/2,0<x<-a/2,f(x)的单调递增区间(0,-a/2)
(2)
当0<a<1或-2<a<0时，最大值为f(1)=a-1≤e²，a≤e²+1
当1≤a≤e时，最大值为f(a)=a²lna≤e²无解
当a≥e或a≤-2e时，最大值为f(e)=a²-e²+ae≤e²,无解
当-2e<a≤-2时，最大值为f(-a/2)=a²ln(-a/2)-3/4*a²≤e²，无解
总之，使f(x)小于等于e^2对x属于[1,e]恒成立的a的值0<a<1

追问

第一问分a的情况后怎么得出来x的范围?有什么用?

追答

2x²-ax-a²<0
(x-a)(x+a/2)<0
对应方程两根分别为：a,-a/2