Question

在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，求证：AC²=AP²+CP*BP。

图形：

Answer 1

证明：过点A作AD⊥BC于D
∵AD⊥BC
∴AB²-BD²＝AD²，AP²-PD²＝AD²
∴AB²-BD²＝AP²-PD²
∴AB²＝AP²+BD²-PD²
∴AB²＝AP²+（BD+PD）（BD-PD）
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴CD＝BD （等腰三角形三线合一：中线、角平分线、高）
∴BD+PD＝CD+PD＝CP，BD-PD＝BP
∴AC²=AP²+CP*BP

Answer 2

证明:
作BC边上高AD,
则AP^2=AD^2+DP^2,BD=DC.
∴BP×PC=(BD+DP)(BD-DP)=BD^2-DP^2,
∴AP^2+BP×PC
=AD^2+DP^2+BD^2-DP^2
=AD^2+BD^2
即AP^2+BP×PC=AB^2.
O(∩_∩)O~