Question

四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，角ADC=60度且ABCD为菱形,M为PB的中点

（1）求证：PA垂直平面CDM
（2）求二面角D-MC-B的余弦值

Answer 1

第一个问题：
过M作MN∥CD交PA于N。
∵ABCD是菱形，∴BA∥CD，而MN∥CD，∴MN∥BA，又M∈PB且BM＝PM，∴AN＝PN。
∵ABCD是菱形，∴AD＝DC，又∠ADC＝60°，∴△ACD是正三角形，∴AC＝DC。
∵△PDC是正三角形，∴PC＝DC。
∵AC＝DC、PC＝DC，∴AC＝PC，又N∈PA且AN＝PN，∴PA⊥CN。

∵ABCD是菱形，∴AD＝DC。
∵△PDC是正三角形，∴PD＝DC。
∵AD＝DC、PD＝DC，∴AD＝PD，又N∈PA且AN＝PN，∴PA⊥DN。

由PA⊥CN、PA⊥DN、CN∩DN＝N，得：PA⊥平面CDN。
∵MN∥CD，∴C、D、N、M共面，而PA⊥平面CDN，∴PA⊥平面CDM。

第二个问题：
∵ABCD是菱形，∴BC＝DC。
∵△PDC是正三角形，∴PC＝DC。
由BC＝DC、PC＝DC，得：BC＝PC，又M∈PB且BM＝PM，∴MC⊥PM。
由第一个问题的结论，有：PA⊥平面CDM，∴MC⊥PA。
由MC⊥PM、MC⊥PA、PM∩PA＝P，∴MC⊥平面PAB，而MN在平面PAB上，∴MN⊥MC。

由PM⊥MC、MN⊥MC，得：∠PMN为二面角D－MC－B的平面角。
∵MN∥BA，∴∠PMN＝∠PBA。
∵PA⊥平面CDM，∴DC⊥PA，而AB∥DC，∴AB⊥PA。

取DC的中点为E，过B作BF⊥DC交DC的延长线于F。
∵△PCD是正三角形、E∈DC且CE＝DE，∴PE⊥DC。
∵平面PCD⊥平面ABCD、平面PCD∩平面ABCD＝DC、PE⊥DC，∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥BE。

∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠ADC＝60°，又BC＝2、BF⊥CF，∴CF＝1、BF＝√3。
显然有：CE＝DC/2＝1，∴EF＝CE＋CF＝1＋1＝2。
∴由勾股定理，有：BE＝√（BF^2＋EF^2）＝√（3＋4）＝√7。
∴再由勾股定理，有：PB＝√（PE^2＋BE^2）＝√（7＋3）＝√10。

由锐角三角函数定义，有：cos∠PBA＝AB/PB＝2/√10＝√10/5。
∴二面角D－MC－B的余弦值是 √10/5。