Question

已知函数f(x)=(1/2)x^2-(a+1)x+alnx。

求：（1）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；（2）讨论函数y=f（x）的单调性；（3）当a=2时，关于x的方程f（x）=m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围（采纳为最佳答案后。还有积分奖励哦，谢谢）

Answer 1

解：
（1）直线2x+3y+1=0的斜率为k=-2/3
那么 f ‘（2）=2+(a+1)+a/2=3/2，得a=-1/2
（2）f(x)=(1/2)x^2-(1/2)x-(1/2)lnx
由f'(x)=1/2(2x-1-1/x)=1/2(2x+1)(x-1)/x=0，即(2x+1)(x-1)=0，
即 x=1或-1/2，
由于lnx中x＞0，即定义域为x＞0，
当 0＜x＜1时，f'(x)＜0，函数单调减；
当x＞1时，f'(x)＞0，函数单调增。
（3）当a=2时，f(x)=(1/2)x^2-3x+2lnx
f'(x)=x-3+2/x=(x-2)(x-1)/x=0得
x=1或2，
由于函数定义域为x＞0，
当0＜x＜1时，f'(x)＞0，函数递增；
当1＜x＜2时，f'(x)＜0，函数递减；
当x＞2时，f'(x)＞0，函数递增；
所以函数在x=1处取到极大值-5/2，在x=2处取到极小值 2ln2-4
所以关于x的方程f（x）=m有三个不同的实数根，则
2ln2-4＜m＜-5/2。
O(∩_∩)O~

追问

第一问的答案应该是a=-1把？f ‘（2）=2-(a+1)+a/2=3/2不是吗？而且第一问第二问是分开的，第一问的条件和第二问没有关系，所以你可以修改一下吗？谢谢

追答

好的。一不小心给弄错了。
（2）f(x)=(1/2)x^2-(a+1)x+alnx
f‘（x）=x-(a+1)+a/x=[x²-(a+1)x+a]/x=(x-a)(x-1)/x
由f’(x)=0得x=a或1，且定义域x＞0
当a＜0时，f（x）在(0,1]上递减，在[1,+∞)递增；
当0＜a＜1时，f（x）在(0,a]上递增，在[a,1]上递减，在[1,+∞)递增；
当a=1时，f'(x)≥0，在(0,+∞)上单调增；
当a＞1时，f（x）在(0,1]上递增，在[1,a]上递减，在[a,+∞)递增；

Answer 2

x^2 这个是X的平方的意思吧