Question

已知函数f(x)=1/2x^2-ax+(a-1)lnx,a>1.

证明：若a<5，则对任意x1,x2∈(0,＋∞),x1≠x2,有f(x1)-f(x2)/x1-x2>-1

Answer 1

证明：
考虑函数g(x)=f(x)+x=1/2x²-ax+(a-1)lnx+x
则g'(x)=x-(a-1)+[(a-1)/x] ≥ 2√[x•(a-1)/x]-(a-1)=1-[√(a-1)-1]²
由于1<a<5，故g'(x)>0
即g(x)在(4，+∞)单调递增
从而x1>x2>0时，有g(x1)-g(x2)>0
即f(x1)-f(x2)+x1-x2>0
故[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>-1
当0<x1<x2时，有[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)>-1

追问

为什么要f(x)+x,g(x)有什么意义吗？