Question

已知函数f(x)=1/2 x^2-ax+(a+1)lnx

1）若曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；
2）若f(x)在区间（0，正无穷）单调递增，求a的取值范围；
3）若-1<a<3,证明：对任意x1,x2属于（0，正无穷），x1不等于x2,都有f(x1)-f(x2)/x1-x2>1

Answer 1

解:f'(x)=x-a+(a+1)/x (x>0)
(1)由已知 f'(2)=2-a+(a+1)/2=3/2
解得 a=2
(2) f'(x)=(x^2-ax+a+1)/x (x>0)
则a可取的充要条件是:
△=a^2-4a-4≤0 即2-2√2≤a≤2+2√2
或 (a/2≤0 且0^2-a·0+a+1=a+1≥0) 即-1≤a≤0
解得 -1≤a≤2+2√2
所以 a的取值范围是 -1≤a≤2+2√2
(3)不妨设0<x1<x2
则f(x)在[x1,x2]是连续,且在(x1,x2)上有导数朗
由拉格朗日中值定理得:
存在t∈(x1,x2),使(f(x2)-f(x1)/(x2-x1)=f'(t)=t-a+(a+1)/t
而t>0 且-1<a<3时
t-a+(a+1)/t≥-a+2√(a+1)=(√(a+1))(2-√(a+1))+1
当-1<a<3时 √(a+1)>0,(2-√(a+1))>0
得t-a+(a+1)/t≥(√(a+1))(2-√(a+1))+1>1
即 (f(x2)-f(x1)/(x2-x1)>1
所以 (f(x1)-f(x2)/(x1-x2)= (f(x2)-f(x1)/(x2-x1)>1

Answer 2

解：（1）1<a<=2时，0<a-1<=1,
当0<x<=a-1时，f'(x)>=0,f(x)单调递增
当a-1<x<=1时，f'(x)<=0,f(x)单调递减
当x>1时，f'(x)>0,f(x)单调递增

(2)a>2时，a-1>1
当0<x<=1时，f'(x)>=0,f(x)单调递增
当1<x<=a-1时，f'(x)<=0,f(x)单调递减
当x>a-1时，f'(x)>=0,f(x)单调递增

Answer 3

请把题目补充完整！没有问题，怎么回答？