Question

已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA垂直平面ABCD,AB=1,BC=2,PA=2,E,F分别是AB、PC的中点。

1）求证：EF平行平面PAD；2）求证：CD垂直EF；3）求EF与平面PCD所成角的大小

Answer 1

1.取CD中点G，连FG、EG（也可以过F向PD作中位线）
易证EG∥AD，FG∥PD
∵EG∩FG=面EFG，AD∩PD=面PAD
∴面EFG∥面PAD
又EF∈面EFG
∴EF∥面PAD
2.∵ABCD是矩形
∴CD⊥AD
又PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
∴CD⊥面PAD
∴CD⊥面EFG
∴CD⊥EF
3.∵PA=AD=2
∴PD=2√2
又FG是△PCD的中位线
∴FG=PD/2=√2
又EG=BC=2，∠FGE=∠PDA=45°
∴EF⊥FG
又EF⊥CD，FG∩CD=面PCD
∴EF⊥面PCD
即EF与平面PCD成90°的角