Question

已知a≥0,函数f(X)=(x^2-2ax)e^x ,

1. 当x为何值时 , f(x)取得极小值,证明你的结论
2.设f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围.

注意第一问是求 极小值 .

Answer 1

1.求导的f‘（x）=[x^2+(2-2a)x-2a]e^x，e^x恒大于0,括号内的方程是恒有根的(用判别式),又开口向上所以用求根公式求出大根即为极小值点.
2.还是讨论x^2+(2-2a)x-2a=0的根,分三种情况
(1)当单减时,使x=1和-1时导数均小与等于0得两不等式解后取交集
(2)当单增时,可能是x=-1导数大于等于0且对称轴小于-1得两不等式解后取交集
还可能是x=1导数大于等于0且对称轴大于1得两不等式解后取交集
然后三种情况取并集即是a范围

追问

求详细解答.

追答

1.求导得f‘（x）=[x^2+(2-2a)x-2a]e^x，因为e^x恒大于0，x^2+(2-2a)x-2a=0方程中，判别式b^2-4ac=4+4a^2大于零恒成立,故该方程有两不等实根x1,x2(不妨设x1x2时函数单增,则x2为函数极小值点.用求根公式得x2=a-1+(1+a^2)^(1/2),代入原函数解析式即为极小值{这个极小值怎么这么复杂啊，代入后式子好长的}
2.讨论x^2+(2-2a)x-2a=0方程的根，x1=a-1-(1+a^2)^(1/2),因为a小于(1+a^2)^(1/2),故x1<-1;同时因为a大于等于0,x2=a-1+(1+a^2)^(1/2)大于等于0,则(-1,0)必单减,则(-1,1)只能单减,即要x2大于等于1,解得a属于[0,3/4].{如果用我第一次给的方法也是可以的,这样解单增时a取值时会解到空集,照样排除了单增的可能}

Answer 2

qiu