Question

平行四边形ABCD，AC>BD，过C点作垂线交AD与F，交AB与E，CE⊥AB，CF⊥AD。求证：AB*AE+AD*AF=AC*AC

平行四边形ABCD，AC>BD，过C点作垂线交AD与F，交AB与E，CE⊥AB，CF⊥AD。求证：AB*AE+AD*AF=AC*AC 一定要用向量证明！！！！！！

Answer 1

用勾股定理可知AF2+FC2=AC2 AE2+EC2=AC2

两式子相加2 AC2=AF2+FC2+AE2+EC2

=AF2+CD2-FD2+AE2+BC2-BE2

=AF2+AB2-FD2+AE2+AD2-BE2

=AF2+(AB2-BE2)+AE2+(AD2-FD2)

=AF2+AE(AB+BE)+AE2+AF(AD+FD)

=AE(AB+BE+AE)+AF(AD+FD+AF)

=2AEAB+2AFAD

然后两边同除以2 （字母后面的2是平方 前面的2是系数 你再自己看看利用勾股定理 然后提取公因数就能转化为那个式子了）

所以 ae*ab+af*ad=ac*ac

证明：作BM⊥AC于点M
则∠AMB=∠AEC=90°
∵∠BAM=∠CAE
∴△ABM∽△ACE
∴AB*AE=AM*AC
∵∠BCM=∠CAE
易得△BCM∽△CAF
∴BC*AF=CM*AC
∴AB*AE+BC*AF=AM*AC+CM*AC=AC(AM+CM)=AC²