Question

求解常微分方程，y"-y'=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )

Answer 1

y''－y'=0的特征根是0和1，通解是y＝C1+C2e^x。
再求非齐次方程的一个特解。难就难在特解上了。
令g＝y'，则g'－g=(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x))。
再令f＝e^(－x)g，则f'=e^(－x)(g'－g)=e^(－x)(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x))，
于是f＝不定积分（e^(－x)(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x))）dx 令e^(－x)=t
＝不定积分（(t^2－1)/(t^2+1)dt）=t－2arctant
＝e^(－x)－2arctane^(－x)。
故g＝e^(x)f(x)=1－2e^xarctane^(－x)。
y=不定积分（gdx）令e^(－x)=t
＝x+2不定积分（arctant/t^2dt）
=x－2不定积分（arctantd(1/t)）
＝x－2arctant/t+2不定积分（1/(t(1+t^2))dt）
=x－2e^xarctane^(－x)+2lnt－ln(1+t^2)
＝－x－2e^xarctane^(－x)－ln(1+e^(－2x))。
有了这些，通解就出来了。

追问

那如果把题目改成y"-y=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )，应该怎么做？

追答

【e^x(y‘－y)】'＝e^x(y''－y)=e^x[ e^x－e^(－x)]/【(e^x+e^(－x)】，类似上面可得
e^x(y’－y)=e^x－2arctane^x，
y'－y=1－2arctane^x/e^x，
于是【e^(－x)y】'＝e^(－x)(y'－y)=e^(－x)－2e^(－2x)arctane^x，
e^(－x)y＝－e^(－x)－2(－0.5arctane^x/e^(2x)－0.5e^(－x)－0.5arctane^x)
y＝e^(－x)*arctane^x+e^x*arctane^x。
可能中间有些计算错误，原理应该是这样的，你自己再计算一下吧。

Answer 2

我看着微分就头疼。。。