Question

一道数学题22

在平面直角坐标系中，抛物线y=（1/2）x²+bx+c经过点A(-4,0)、C（2，0）两点，与y轴交于点B。点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-1/2x上的动点。若以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形时，求出满足条件的所有Q点的坐标。（好像其中有两个点是分别是（4，-2）和（-8，4），如果正确，说说求解的方法，最好有过程。其他的点直接写出即可。）

Answer 1

依题意，可得：y = (1/2)(x+4)(x-2) = (1/2)x²+x-4 ，则有：点B的坐标为（0,-4）；
这两个点的情况应该满足：OP∥BQ，PQ是直角梯形OPQB的高。
设点P的坐标为（t，½t²+t-4），
则直线BQ的斜率为 k(BQ) = k(OP) = (t²+2t-8)/(2t) ，
可得：直线BQ的方程为 y = [(t²+2t-8)/(2t)]x-4 ，
已知，直线OQ的方程为 y = -½x ，
联立解得：点Q的坐标为（8t/(t²+3t-8)，-4t/(t²+3t-8)），
可得：k(PQ) = [½t²+t-4+4t/(t²+3t-8)]/[t-8t/(t²+3t-8)] ，
因为，PQ⊥BQ ，所以，k(PQ)*k(BQ) = -1 ，
得到一个高次方程，但不知怎么解。
不过可以验证这两个点不是（4，-2）和（-8，4）：
若点Q分别为（4，-2）和（-8，4），则由k(OP) = k(BQ)，可得直线OP方程，
联立直线OP和抛物线，可分别求出对应的点P坐标，可以验证PQ⊥BQ不成立。