Question

中心在直角坐标系原点，焦点在X轴上的椭圆，它的离心率为根号下3/2，与直线X+Y-1=0相交于M，N两点，

若以MN为直径的圆经过坐标原点。求椭圆方程。
（这题不用向量的方法解）

Answer 1

e=√3/2
解：y=1-x代入椭圆方程 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (bx/a)^2+(1-x)^2=b^2
(b^2/a^2+1)x^2-2x+1-b^2=0 e=c/a=√3/2 c^2=3a^2/4 b^2=a^2/4 b=a/2
5x^2/4-2x+1-b^2=0 设M（x1 ,y1）N(x2, y2) 直线MO方程的斜率k1=y1/x1 直线NO方程的斜率k2=y2/x2 因为MNO共圆，且MN为直径，所以OM垂直ON ， 即k1*k2=--1
y1y2=--x1x2 x1+x2=2*4/5 x1x2=4(1--b^2)/5
y1y2=(1-x1)(1-x2)=1--(x1+x2)+x1x2 =1--8/5+x1x2=--x1x2 2x1x2=3/5 8(1--b^2)/5=3/5
b^2=5/8 a^2=5/2 所以椭圆方程：2x^2/5+8y^2/5=1 2x^2+8y^2=5