Question

如图，已知AD是ΔABC中BC边上的高，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F。

（1)求证：AE*AB=AF*AC
（2）如图2，取BD的中点P，连接PE并延长交CA的延长线于点Q，试判断PQ与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若EQ=DC，设tanB=x，S（三角形AEQ）/S（三角形ACD）=y，求y与x之间的函数关系式。

Answer 1

(1)联结EF，DF，ED．AD为圆直径，∠DEA＝∠DFA＝90°，∠B＋EAD＝90°，

∠EFD＋∠EFA＝90°，∠DAE＝∠DFE(同弧所对的角)，∠EAD＋∠EFA＝90°

∴∠B＝∠EFA(同余)．△AEF∽△ACB，AE：AC＝AF：AB，AE*AB=AF*AC．

(2)相切．

联结OP，显然有OP∥AB，   ∠POD＝∠BAD＝∠AEO＝∠POE，OE＝OD，OP＝OP，△POD≌△POE，∠PEO＝∠PDO＝90°，OE⊥AP．

(3)易证△DCE≌△EQA，∠BED＝∠DFC＝90°，∠B＝∠FDC=∠DAC,

CF＝DC*sin∠B,AC=DC/sin∠B,

y=S（△AEQ）/S（△ACD）＝(CF＊DF）／(CA＊DF）

＝CF／AC＝(DC*sin∠B)/(DC/sin∠B)=(sin∠B)^2=x^2/(1+x^2)

Answer 2

已上图