△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,cosB),向量n=(b,cosA)...

△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,cosB),向量n=(b,cosA),且向量m//向量n,向量m≠向量n。求sinA+sinB的取值范围... △ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,cosB),向量n=(b,cosA),且向量m//向量n,向量m≠向量n。求sinA+sinB的取值范围 展开
竹叶清浅
2012-04-04 · TA获得超过6274个赞
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(a,cosB)=t(b,cosA) a=tb cosb=tcosa
所以a/b=cosb/cosa a/sina=b/sib=c/sinc=2r代入
sina/sinb=cosb/cosa sinacosa=sinbcosb即1/2sin2a=1/2sin2b
所以2a=2b a=b(因为m不等于n所以a不等于b所以舍去) 180-2a=2b a+b=90
故c=90 b=90-a 所以sinb=cosa
sina+sinb=sina+cosa=根号2*sin(a+45)
a=45最大为根号2 a=0时最小为1取不到
故1<sinA+sinB<=根号2

向量m‖n, ∴cosB/a=cosA/b。代入正弦定理得cosB/sinA=cosA/sinB
即sinBcosB=sinAcosA===>sin2A-sin2B=0
即2sin(A-B)cos(A+B)=0
若sin(A-B)=0则sinAcosB=cosAsinB===>cotA=cotB, ∴A=B,与m≠n矛盾
∴只能cos(A+B)=0===>A+B=90º
∴sinA+sinB=sinA+cosA
首先sinA+cosA>1;其次sinA+cosA=√2*sin(A+45°)≤√2
∴1<sinA+sinB≤√2
晓晓
2012-04-04 · TA获得超过526个赞
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a/b=cosB/cosA,sinA/sinB=cosB/cosA,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B+n*pi
A=B+pi*n/2,向量m≠向量n,所以A≠B,n≠0,n=1,-1,n=1时,sinA+sinB=cosB+sinB,后面的自己判断吧,注意取值范围
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