△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,cosB),向量n=(b,cosA)...
△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,cosB),向量n=(b,cosA),且向量m//向量n,向量m≠向量n。求sinA+sinB的取值范围...
△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,cosB),向量n=(b,cosA),且向量m//向量n,向量m≠向量n。求sinA+sinB的取值范围
展开
展开全部
(a,cosB)=t(b,cosA) a=tb cosb=tcosa
所以a/b=cosb/cosa a/sina=b/sib=c/sinc=2r代入
sina/sinb=cosb/cosa sinacosa=sinbcosb即1/2sin2a=1/2sin2b
所以2a=2b a=b(因为m不等于n所以a不等于b所以舍去) 180-2a=2b a+b=90
故c=90 b=90-a 所以sinb=cosa
sina+sinb=sina+cosa=根号2*sin(a+45)
a=45最大为根号2 a=0时最小为1取不到
故1<sinA+sinB<=根号2
向量m‖n, ∴cosB/a=cosA/b。代入正弦定理得cosB/sinA=cosA/sinB
即sinBcosB=sinAcosA===>sin2A-sin2B=0
即2sin(A-B)cos(A+B)=0
若sin(A-B)=0则sinAcosB=cosAsinB===>cotA=cotB, ∴A=B,与m≠n矛盾
∴只能cos(A+B)=0===>A+B=90º
∴sinA+sinB=sinA+cosA
首先sinA+cosA>1;其次sinA+cosA=√2*sin(A+45°)≤√2
∴1<sinA+sinB≤√2
所以a/b=cosb/cosa a/sina=b/sib=c/sinc=2r代入
sina/sinb=cosb/cosa sinacosa=sinbcosb即1/2sin2a=1/2sin2b
所以2a=2b a=b(因为m不等于n所以a不等于b所以舍去) 180-2a=2b a+b=90
故c=90 b=90-a 所以sinb=cosa
sina+sinb=sina+cosa=根号2*sin(a+45)
a=45最大为根号2 a=0时最小为1取不到
故1<sinA+sinB<=根号2
向量m‖n, ∴cosB/a=cosA/b。代入正弦定理得cosB/sinA=cosA/sinB
即sinBcosB=sinAcosA===>sin2A-sin2B=0
即2sin(A-B)cos(A+B)=0
若sin(A-B)=0则sinAcosB=cosAsinB===>cotA=cotB, ∴A=B,与m≠n矛盾
∴只能cos(A+B)=0===>A+B=90º
∴sinA+sinB=sinA+cosA
首先sinA+cosA>1;其次sinA+cosA=√2*sin(A+45°)≤√2
∴1<sinA+sinB≤√2
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询