Question

平行四边形ABCD中，AB垂直BD，AB=2，BD=根号2，沿BD将三角形BCD折起，

使二面角A-BD-C是大小为阿法锐角的二面角,设C在平面ABD上的射影为O。
1.当阿法为何值时，三棱锥C-OAD的体积最大？最大值为多少？
2.当AD垂直BC时，求阿法的大小。

Answer 1

第一个问题：
∵O是C在平面ABD上的射影，∴CO⊥平面ABD，∴BD⊥CO。
∵折起前，ABCD是平行四边形，∴此时AB∥DC，而此时AB⊥BD，∴BD⊥DC。
∵BD⊥CO、BD⊥DC、CO∩DC＝C，∴BD⊥平面CDO，∴DO⊥BD，
∴△OAD的面积＝（1/2）AD×DO。

∵AB⊥BD、AB＝2、BD＝√2，∴由勾股定理，有：AD＝√（AB^2＋BD^2）＝√（4＋2）＝√6。
∵DC⊥BD、CO⊥BD，∴∠CDO＝二面角A－BD－C的平面角，∴∠CDO＝α，
∵O是C在平面ABD上的射影，∴CO⊥DO，∴DO＝DCcosα、CO＝DCsinα。
∵折起前，ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝2。

于是：
C－OAD的体积
＝（1/3）△OAD的面积×CO＝（1/3）（1/2）AD×DO×CO
＝（1/6）√6（DCcosα）（DCsinα）＝（√6/6）DC^2sinαcosα＝（√6/6）×4sinαcosα
＝（√6/3）sin2α。
显然，当sin2α＝1时，C－OAD的体积最大，且最大值为√6/3。

第二个问题：
∵CO⊥平面ABD，∴AD⊥CO，又AD⊥BC、BC∩CO＝C，∴AD⊥平面BCO，∴AD⊥BO。
令AD∩BO＝E。
∵AB⊥BD、BE⊥AD，∴由三角形面积公式，有：（1/2）AB×BD＝（1/2）AD×BE，
∴BE＝AB×BD/AD＝2√2/√6＝2/√3。
∴由勾股定理，有：DE＝√（BD^2－BE^2）＝√（2－4/3）＝√2/√3。

由第一个问题的证明过程，有：BD⊥DO，∴由勾股定理，有：
BO＝√（BD^2＋DO^2）＝√［2＋DC^2（cosα）^2］＝√［2＋4（cosα）^2］。
由三角形面积公式，有：（1/2）BD×DO＝（1/2）BO×DE，
∴√2DCcosα＝（√2/√3）√［2＋4（cosα）^2］，　∴2√3cosα＝√［2＋4（cosα）^2］，
∴12（cosα）^2＝2＋4（cosα）^2，　∴8（cosα）^2＝2，　∴cosα＝1/2，　∴α＝60°。

Answer 2

不对啊，为什么△OAD的面积＝（1/2）AD×DO呢，AD与DO不垂直啊