Question

如图，四边形ABCD中，AC⊥AB．∠ADB＝∠ACB，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F．

(1)求证：AB2＝BF•BD；
(2)求证：∠BDC＝90

Answer 1

证明：（1）因为。 AC垂直于AB，AE垂直于BC于E，
所以。 三角形ABC相似于三角形EBA，
所以。 角BAE=角ACB，
因为。 角ADB=角ACB，
所以。 角BAE=角ADB，
又因为。 角ABF=角ABD，
所以。 三角形ABF相似于三角形ABD，
所以。 AB比BD=BF比AB，
所以。 AB平方=BF乘BD。
（2）因为。 三角形ABE相似于三角形ABC，
所以。 AB比BC=BE比AB，
所以 AB平方=BC乘BE，
因为 AB平方= BF乘BD，
所以 BC乘BE=BF乘BD，
所以 BC/BF=BD/BE，
又因为 角EBF=角DBC
所以 三角形BFE相似于三角形BCD，
所以 角BDC=角BEF=90度。