Question

将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD。 （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如

将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD。 （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2。那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由。

Answer 1

（1）因为两张纸都为矩形，所以四边形ABCD对边互相平行

所以为平行四边形

S四=AB*h1=BC*h2

又∵宽度相同

∴h1=h2

∴AB=BC

所以四边形为菱形

（2）设没被遮住的那一部分长=X，另一部分为8-X，即菱形边长为8-X，与2构成RT△

∴X=15/4，8-X=17/4

∴周长最大=4*17/4=17

周长最小=2*4=8

Answer 2

（1）证明：如图，∵AD∥BC，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．
∵两张矩形纸片的宽度相等，
∴AE=DF，
又∵AE•BC=DF•AB=S▱ABCD，
∴BC=AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：存在最小值和最大值．（7分）
①当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；（8分）
②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB=x．如图，
在Rt△BCG中，BC2=CG2+BG2，
即x2=（8-x）2+22，x=
17
4
．
∴周长最大值为
17
4 ×4=17．（9分）

Answer 3

（1）因为两张纸都为矩形，所以四边形ABCD对边互相平行
所以为平行四边形
S四=AB*h1=BC*h2
又∵宽度相同
∴h1=h2
∴AB=BC
所以四边形为菱形
（2）设没被遮住的那一部分长=X，另一部分为8-X，即菱形边长为8-X，与2构成RT△
∴X=15/4，8-X=17/4
∴周长最大=4*17/4=17

周长最小=2*4=8

Answer 4

（1）因为两张纸都为矩形，所以四边形ABCD对边互相平行
所以为平行四边形
S四=AB*h1=BC*h2
又∵宽度相同
∴h1=h2
∴AB=BC
所以四边形为菱形
（2）设没被遮住的那一部分长=X，另一部分为8-X，即菱形边长为8-X，与2构成直角三角形 ∴X=15/4，8-X=17/4
∴C最大=4*17/4=17 C最小=2*4=8

Answer 5

易得四边形的两组对边分别平行，那么可得是平行四边形，再根据宽度相等，利用面积的不同求法可得一组邻边相等，那么应为菱形；
四边形ABCD周长的最大时，
设菱形的边长是x，则x2=（10-x）2+16，解得x=5.8，
所以四边形ABCD周长的最大值=23.2．
故答案为菱形，23.2．