Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E， 求证：EB=3EA

Answer 1

EB＝3EA
解：连接AD
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
又∵D为BC的中点
∴AD为BC的中线
即：AD为∠BAC的平分线（等腰三角形三线合一）
∴∠EAD=120°/2=60°
又∵DE丄AB
∴∠DEA=90°
在Rt△EDA中：
∠EDA=90°-60°=30°
∴AD=2EA（在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半）
在△ABD中：
∠ADB=90°（三线合一）
∠BAD=60°（已证）
∴∠ABD=90°-60°=30°
∴BA=2AD=4EA
BA=BE+EA
即：BE+EA=4EA
移项：EB=3EA

Answer 2

联结AD
∵∠BAC=120°
∴∠BAD=60°
设AD=2a
则AE=a
∵在含30°的Rt△中
∴AB=4a BE=3a
即EB=3EA

Answer 3

证明：已知ab=ac
角bac=120
所以三角形为等腰钝角三角形
d为bc的中点
所以bc平分角bac和边bc
所以角cad=角bad=60
bd=cd
又de垂直于ab于e
所以说2ae=ad
2ad=ab
所以4ae=ba
所以3ae=ba-ea=eb
所以eb=3ea
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谢谢您。

Answer 4

证明:已知AB=AC
角BAC=120
所以三角形为等腰钝角三角形
D为BC的中点
所以BC平分角BAC和边BC
所以角CAD=角BAD=60
BD=CD
又DE垂直于AB于E
所以说2AE=AD
2AD=AB
所以4AE=BA
所以3AE=BA-EA=EB
所以EB=3EA