Question

三角函数的函数变换问题

求解 貌似很简单 脑子混到了 一下子不会了

Answer 1

函数变换有个口诀叫做“除伸乘缩，左加右减”
意思是，仅对x而言，如果函数在X轴方向伸长，那么就将x除以一个常数a代替，压缩就乘以一个常数a代替，向左移动那么就用x+a代替x，向右移动就用x-a代替x，这样就得到平移后的函数了
原函数y=sin(ωx-φ) (ω>0，0<φ<π)
根据口诀，
伸长，除以2，就得到y=sin(0.5ωx-φ)
左移，x=x+π/6，得到y=sin(0.5ω(x+π/6)-φ)=sin(0.5ωx-φ+π/12)
因此，y=sin(0.5ωx-φ+π/12)就是我们最终得到的函数图像
已知相邻两对称轴间距为π/2，也就是半周期为π/2，因为，正弦函数的对称轴有两组，一组是过波峰的对称轴，另一组是过波谷的对称轴，相邻两对称轴就是一个波峰一个波谷的对称轴，间隔是半个周期，因此有 T/2=π/2，T=π=2π/0.5ω，ω=4
y=sin(2x-φ+π/12)
已知函数过点(π/6,0)，则有sin(5π/12-φ)=0
5π/12-φ=kπ (k∈Z)
结合φ的取值范围可得
φ=5π/12

Answer 2

y=sinωxcosφ-cosωxsinφ，可化为：y=sin(ωx-φ)（ω>0，0<φ<π）；
将函数的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则得函数：y=sin(ωx/2-φ)；
再向左平移π/6个单位，则得函数：y=sin(ωx/2-φ+π/3),即函数y=f(x)；
已知函数y=f(x)的图像相邻两对称轴间的距离为π/2，则周期T=π，即ω=4；
又已知函数y=f(x)的图像过（π/6，0），带入表达式，得：0=sin(2*π/6-φ+π/3)；
解得：φ=2π/3；
则原函数为y=sin4xcos2π/3-cos4xsin2π/3=sin(2x-2π/3)；

Answer 3

解：
∵y=sinωxcosψ-cosωxsinψ
=sin(ωx-ψ)
↓ （横坐标伸长为原来的2倍）
y=sin(ω/2 x－ψ/2)
↓ (向左平移π/6个单位)
y=sin( ω/2 x-ψ/2+π/12) =f(x)
∵y=f(x)相邻两对称轴间的距离为π/2
∴T/2=π/2，即T=π (T为周期)
∴ω/2=2π/T，即ω=4
∴f(x)=sin(2x-ψ/2+π/12)
∵y=f(x)的图像过点（π/6，0）
∴f(π/6)=sin(π/3-ψ/2+π/12 )=0
∴π/3-ψ/2+π/12 =kπ
∵0<ψ<π
∴ψ=5/6π