在平面直角坐标系X0Y中,已知P是函数F(X)=E的X次方(X>0)的图像上的动点,该图像在点P处的切线L交Y轴于M 5
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解:设切点坐标为(m,em)
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em(x-m)
令x=0,解得y=(1-m)em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m(x-m)
令x=0,解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1/2 [(2-m)em+me-m]
令t'=0解得:m=1
当m∈(0,1)时,t'>0,当m∈(1,+∞)时,t'<0
∴当m=1时t取最大值
1/2 (e+e-1)
故答案为:
1/2(e+e-1)
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em(x-m)
令x=0,解得y=(1-m)em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m(x-m)
令x=0,解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1/2 [(2-m)em+me-m]
令t'=0解得:m=1
当m∈(0,1)时,t'>0,当m∈(1,+∞)时,t'<0
∴当m=1时t取最大值
1/2 (e+e-1)
故答案为:
1/2(e+e-1)
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解:导函数是函数本身 设P点坐标为(x0,e^x0)
则切线方程是y=xe^x0+e^xo(1-x0)
所以M点坐标是(0,e^xo(1-x0),)
过点P作L的垂线方程是
y=-x/e^x0+(x0/e^xo+e^xo)
所以N点的坐标是(0,(x0/e^xo+e^xo))
线段MN的中点的纵坐标为T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0
下面再求函数T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0
的最大值即可,将函数求导得导函数是[e^(2x0)+1](1-x0)/e^x0
容易判断函数在x0=1处取得极大值 ,也是最大值
带入求解即可
T的最大值是e+1/e
谢谢
则切线方程是y=xe^x0+e^xo(1-x0)
所以M点坐标是(0,e^xo(1-x0),)
过点P作L的垂线方程是
y=-x/e^x0+(x0/e^xo+e^xo)
所以N点的坐标是(0,(x0/e^xo+e^xo))
线段MN的中点的纵坐标为T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0
下面再求函数T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0
的最大值即可,将函数求导得导函数是[e^(2x0)+1](1-x0)/e^x0
容易判断函数在x0=1处取得极大值 ,也是最大值
带入求解即可
T的最大值是e+1/e
谢谢
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设P点坐标为(x0,e^x0)
则切线方程是y=xe^x0+e^xo(1-x0)
所以M点坐标是(0,e^xo(1-x0),)
过点P作L的垂线方程是
y=-x/e^x0+(x0/e^xo+e^xo)
所以N点的坐标是(0,(x0/e^xo+e^xo))
线段MN的中点的纵坐标为T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0
下面再求函数T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0
的最大值即可,将函数求导得导函数是[e^(2x0)+1](1-x0)/e^x0
容易判断函数在x0=1处取得极大值 ,也是最大值
带入求解即可
T的最大值是e+1/e
则切线方程是y=xe^x0+e^xo(1-x0)
所以M点坐标是(0,e^xo(1-x0),)
过点P作L的垂线方程是
y=-x/e^x0+(x0/e^xo+e^xo)
所以N点的坐标是(0,(x0/e^xo+e^xo))
线段MN的中点的纵坐标为T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0
下面再求函数T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0
的最大值即可,将函数求导得导函数是[e^(2x0)+1](1-x0)/e^x0
容易判断函数在x0=1处取得极大值 ,也是最大值
带入求解即可
T的最大值是e+1/e
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