Question

高中数学数列题目求解题思路和详细过程

已知数列an的前n项和Sn=(n+1)bn,其中bn是首项为1,公差为2的等差数列
（1）求数列an的通项公式
（2）若Cn=1/an（2bn+5），求数列Cn的前n项和Tn

我更需要的是解这种题目的思路，谢谢
能顺便解释下裂项法么...

Answer 1

(1)
bn＝2n-1 (n∈N*)
Sn＝(n+1)bn＝2n^2+n-1①
故S(n-1)＝2(n-1)^2+(n-1)-1＝2n^2-3n②(n≥2，n∈N*)
①-②得an＝4n-1(n≥2，n∈N*)
当n＝1，S1＝a1＝2(1)^2+1-1＝2
而a1＝1×4-1＝3≠2
故an＝2，n＝1
an=4n-1，n≥2，n∈N*

(2)
当n=1时，c1=1/[a1*(2b1+5)]=1/14，
当 n>=2 时，cn=1/[an*(2bn+5)]=1/[(4n-1)(4n+3)]，
由于 1/[(4n-1)(4n+3)]=1/4*[1/(4n-1)-1/(4n+3)]，
所以，由裂项相消法可得
n=1时，Tn=1/14，
n>=2时，Tn=c1+(c2+c3+...+cn)
=1/14+1/4*[(1/7-1/11)+(1/11-1/15)+....+1/(4n-1)-1/(4n+3)]
=1/14+1/4*[1/7-1/(4n+3)]
=(6n+1)/[14(4n+3)]
由于n=1时，Tn=1/14=(6n+1)/[14(4n+3)]，
所以，所求Tn=(6n+1)/[14(4n+3)]（n>=1，n∈N*）。

追问

能讲解一下裂项相消法么？

追答

如本题的1/[(4n-1)(4n+3)]=1/4*[1/(4n-1)-1/(4n+3)]，
Tn=c1+[c2+……+cn]
c2=1/4*(1/7-1/11)
c3=1/4*(1/11-1/15)
c2+c3=1/4*（1/7-1/11+1/11-1/15）中间两项就可以消去
这个就叫裂项相消法

Answer 2

解：（1）依题意得
bn＝2n-1 (n∈N*)
Sn＝(n+1)bn＝2n^2+n-1①
故S(n-1)＝2(n-1)^2+(n-1)-1＝2n^2-3n②(n≥2，n∈N*)
①-②得an＝4n-1(n≥2，n∈N*)
当n＝1，S1＝a1＝2(1)^2+1-1＝2
而a1＝1×4-1＝3≠2
故

{2，n＝1}
an＝
{4n-1，n≥2，n∈N*}

（2）bn=1+(n-1)*2=2n-1 ;
sn=(n+1)(2n-1) ;
an=sn-sn-1=(n+1)(2n-1)-n(2n-3)=2n^2+n-1-2n^2+3n=4n-1;
cn=1/(4n-1)(4n+3)=1/4[1/4n-1 -1/4n+3]
cn前n项和为Tn
n=1时，c1=1/a1(2b1+5)=1/14,Tn=1/14
n≥2时，
Tn=c1+c2+...+cn
=1/14+1/4(1/7-1/11+...+1/4n-1 -1/4n+3)
=1/14+1/4[1/7-1/4n+3]
=3/28-1/4(4n+3)
（楼上无需再把答案由简变繁）

Answer 3

这个只要用课本上面的公式就行了吧？你先自己去试试看，按这个思路：先写出bn的前N项和，然后就用Sn-Sn-1得出an，然后再算当n=1时a1的值，这样就算出了an的通项公式，代入，再利用裂项方法求出Tn就行了