Question

已知：如图，一次函数y=x+b 的图象与两坐标轴交于A、B两点，

已知：如图，一次函数y=x+b 的图象与两坐标轴交于A、B两点，与函数y=2/x 的图象交于C、D两点，由点C向x轴做垂线，垂足为E.
（1）若△AOB的面积是△OCD的面积的一半，求C点的坐标；
（2）证明：不论b取任何不为零的实数，AC•BC为定值；
（3）延长CO交函数 的图象于M点，试判断△CDM的形状

Answer 1

因为没图， 设C点在第一象限 A是一次函数与Y轴交点
一次函数y=x+b 的图象与两坐标轴交于A、B两点
A点坐标：（0，b) B点坐标: (-b, 0)
△AOB的面积=1/2*AO*OB=b²/2
作ON⊥AB,交AB于N, 因为三角形AOB为直角等腰三角形 则ON=AB/2=（根号2）/2*b
设C点坐标为（x,y) 则
y=x+b
y=2/x 解得： x1=[-b+根号（b²+8)]/2 x2=[-b-根号（b²+8)]/2
y1=[-b+根号（b²+8)]/2+b=[b+根号（b²+8)]/2
y2=[-b-根号（b²+8)]/2=[b-根号（b²+8)]/2
CD的距离=根号[（x1-x2)²+(y1-y2)²]=根号(b²+8+b²+8)=根号(2b²+16)
△OCD的面积=1/2*CD*ON=1/2*根号(2b²+16)*（根号2）/2*b
=1/4b*根号(4b²+32)
当△AOB的面积是△OCD的面积的一半时
1/4b*根号(4b²+32)=b²
4b²+32=16b² b=2/3根号6
把b=2/3根号6 代入
x1=[-b+根号（b²+8)]/2=1/3根号6
y1=[b+根号（b²+8)]/2=根号6
x2=[-b-根号（b²+8)]/2=-根号6
y2=[b-根号（b²+8)]/2=-1/3根号6

C点坐标： （1/3根号6，根号6）
D点坐标： （-根号6,-1/3根号6)

2. AC=根号[（x1-0)²+(y1-b)²]=根号{([-b+根号（b²+8)]/2)²+([b+根号（b²+8)]/2-b)²
=(根号2）*[-b+根号（b²+8)]
BC=根号[（x1+b)²+(y1-0)²]=根号{([-b+根号（b²+8)]/2+b)²+([b+根号（b²+8)]/2)²
=(根号2）*[b+根号（b²+8)]
AC*BC=(根号2）*[-b+根号（b²+8)]*(根号2）*[b+根号（b²+8)]
=2*(b²+8-b²)=16 定值

3. 延长CO交函数 的图象于M点 则 C点与M点关于原点对称
CO=OM=根号{([-b+根号（b²+8)]/2)²+([b+根号（b²+8)]/2)² }
=b²+4
又OD=CO=OM
所以三角形CDM为直角三角形