Question

计算由曲面x^2+y^2=az，z=2a-（x^2+y^2）^0.5所围立体的体积。写个3重积分算式我基本上就能懂了。

Answer 1

解：∵解方程组x²+y²=az与z=2a-√(x²+y²)，得x²+y²=a²
∴所求体积在xy平面上的投影是S：x²+y²=a²
故 所求体积=∫∫<S>{[2a-√(x²+y²)]-(x²+y²)/a}dxdy
=∫<0,2π>∫<0,a>(2a-r-r²/a)rdr (作极坐标变换)
=2π∫<0,a>(2ar-r²-r³/a)dr
=2π[ar²-r³/3-r^4/(4a)]│<0,a>
=2π(a³-a³/3-a³/4)
=5πa³/6。