Question

关于等差数列前N项和的性质的疑惑

1 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n..........成等差数列，公差为n*d。这个性质是什么意思？怎麽用啊？谁能给我解释一下它的来历？还有麻烦举几个例子来应用它，我都不知道怎么用？

Answer 1

Sn,S2n-Sn,S3n-S2n..........成等差数列，公差为n^2*d

证明如下：

Sk=ka1+k(k-1)d/2
S2k=2ka1+2k(2k-1)d/2
S3k=3ka1+3k(3k-1)d/2

S2k-Sk=ka1+k(3k-1)d/2
S3k-S2k=ka1+k(5k-1)d/2

(S2k-Sk）-Sk=k^2*d
(S3k-S2k)-(S2k-Sk）=k^2*d

所以
等差数列依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也为等差数列

例子如下：
设等差数列an的前n项和为sn，若s3=9，s6=36,则a7+a8+a9=?
运用以上的性质，可得：s3,s6-s3,s9-s6 成等差数列
则2(s6-s3)=s3+(s9-s6)
得到s9-s6=2s6-3s3=45
故a7+a8+a9=45

第二个例子
设等差数列前6项为2,4,6,8,10,12
则 S2, S4-S2, S6-S4 成等差数列，
S2=6，S4-S2=14，S6-S4=22，它们的公差是8，是2^2 *2，
所以
Sn,S2n-Sn,S3n-S2n..........成等差数列，公差是n^2*d，而不是n*d。

继续上面这个题，求S20-S18的值
因为S2, S4-S2, S6-S4，........是首项为S2，公差为8的等差数列
所以S20-S18=S2+8*9=6+72=78

答毕