Question

是否存在0<x<π/2 ，使得sinx,cosx,tanx,cotx的某种排列为等差数列．

Answer 1

解析：
已知当x=π/4，由于sinx=cosx≠tanx=cotx，所以此时sinx,cosx,tanx,cotx的任意排列都不能成为等差数列。
以下考虑当0<x<π/4时的情形
当0<x<π/4时，易知：0<sinx<cosx,而0<sinx<tanx<1<cotx
若tanx=cosx，则由tanx=sinx/cosx，sin²x+cos²x=1，解得sinx=(√5 -1)/2，
即当x=arcsin[(√5 -1)/2]时，由于tanx=cosx=√[(√5 -1)/2]，此时sinx,cosx,tanx,cotx的任意排列也不能成为等差数列.
由上可知：
(1)当arcsin[(√5 -1)/2]<x<π/4时，有：0<sinx<cosx<√[(√5 -1)/2]<tanx<1<cotx
则不妨假设存在x属于( arcsin[(√5 -1)/2] ,π/4 )，使得：sinx，cosx，tanx，cotx能依次成一个等差数列
由等差数列定义，有：
cosx-sinx=cotx-tanx
即cosx-sinx=(cos²x-sin²x)/(cosx*sinx)
由于cosx≠sinx，所以上式两边同除以cosx-sinx，可得：
1=(cosx+sinx)/(cosx*sinx)
即cosx*sinx=cosx+sinx
上式两边平方得：cos²x*sin²x=(cosx+sinx)²
即cos²x*sin²x=1+2cosxsinx
cos²x*sin²x-2cosxsinx=1
配方得：(cosxsinx-1)²=2 （*）
因为0<cosx<1,0<sinx<1，则：0<cosx*sinx<1，即-1<cosx*sinx-1<0
所以：0<(cosxsinx-1)²<1
则可知方程（*）无实数解
这就是说上述(1)假设不成立
即不存在x属于( arcsin[(√5 -1)/2] ,能使得sinx，cosx，tanx，cotx依次成一个等差数列
(2)当0<x<arcsin[(√5 -1)/2]时，有：0<sinx<tanx<√[(√5 -1)/2]<cosx<1<cotx
则不妨假设存在x属于( 0，arcsin[(√5 -1)/2] )，使得：sinx，tanx，cosx，cotx能依次成一个等差数列
由等差数列定义，有：
tanx-sinx=cotx-cosx
即cosx-sinx=cotx-tanx
以下证明过程同(1),略去。
这就是说上述(2)假设不成立
即不存在x属于( 0， arcsin[(√5 -1)/2] ）,能使得sinx，cosx，tanx，cotx依次成一个等差数列
同理可证得：
当π/4<x<π/2时，亦不存在这样的x，使得sinx,cosx,tanx,cotx的某种排列为等差数列．

Answer 2

假设存在这样的排列。
在此区间都为正值， 不妨设排列成公差为正数的等差数列。
由于四个数在（0，π/4] 的值与[π/4,π/2]只是交换了一下，（sinx, cosx交换, tanx, cotx交换）
因此不妨设区间为：（0，π/4]
x显然不能为π/4，否则两两相等，排列不成等差数列。
(0，π/4)内，cotx>cosx>sinx, cotx>tanx>sinx,
因此最小的是sinx， 最大的是cotx
由等差数列的性质，即有：sinx+cotx=cosx+tanx
sinx-cosx-sinx/cosx+cosx/sinx=0
sinxcosx(sinx-cosx)-sin^2 x+cos^2 x=0
因sinx<>cosx, 去除sinx-cosx因子得： sinxcosx-sinx-cosx=0
除以cosx,得：sinx-tanx-1=0
sinx=tanx+1
而因为sinx<tanx，所以此式不成立。
因此不存在某种排列为等差数列。
望采纳。。。。。。。。

追问

非常感谢，这是一道北京大学的自主招生题，不简单，牛