Question

已知函数f(x)=ax-1-lnx 讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数 急 谢谢

Answer 1

a=0时 有0个 a不等于0时 有1个 因为定义域大于0，求导后为f'=a-1/x 令f'=0 得ax=1 即x=1/a 记得给分哦

Answer 2

f'(x)=a-1/x，定义域x＞0，
所以当a≤0时，f‘(x)＜0，无极值点
当a＞0时，令f‘(x)＞0得x＞1/a，令f‘(x)＜0得0＜x＜1/a，x=1/a时，f‘(x)=0
∴此时f(x)有一个极小值点x=1/a

Answer 3

函数定义域为x>0，对函数f(x)求导得
f'(x)=a-1/x
极值点为f'(x)=0=a-1/x，即x=1/a
（1）讨论：
当a≤0时，f'(x)<0恒成立，即函数单调递减，无极值点
当a>0时，f(x)在x=1/a处取得极值，即极值点个数为1个
（2）函数在x=1处取得极值，则a=1，f(x)=x-1-lnx
f(x)≥bx-2恒成立，即(1-b)x+1≥lnx恒成立
即直线y=(1-b)x+1始终在曲线u=lnx的上方
直线过定点(0,1)，始终在曲线上方，则二者无交点
首先，直线斜率1-b必然大于0，否则必与曲线有交点，即有b<1
其次，直线斜率必大于曲线过点(0,1)的切线斜率，否则也有交点
对曲线求导得u'=1/x，即切线斜率为u'=1/x
设切点为p(m,n)，则有u'(m)=1/m=(n-1)/m=>n=2
u(m)=lnm=n=2=>m=e²
直线斜率大于曲线斜率，则有1-b>1/m=1/e²，解得b<1-1/e²
∴实数b的取值范围为b<1-1/e²
（3）e-1<yx-y>0,x+1>y+1>e
ln(x+1)>ln(y+1)>1,e^(x-y)>1
令g(t)=e^t/ln(t+1),则g'(t)=e^t[ln(t+1)-1/(t+1)]/ln²(t+1)
由于ln(t+1)-1/(t+1)=[(t+1)ln(t+1)-1]/(t+1)
在t+1>e时，有(t+1)ln(t+1)-1>0，∴g'(t)>0此时恒成立
∴g(t)在t+1>e时为增函数
∴当x>y>e-1时，有g(x)>g(y)
即e^x/ln(x+1)>e^y/ln(y+1)
两边同乘以e^(-y)*ln(x+1)即可得
e^(x-y)>{ln(x+1)}/{ln(y+1)}