Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）． （Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数f（x

（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）当e-1＜y＜x时，试证明：e^(x-y)>{ln（x+1)}/{ln(y+1)}

Answer 1

函数定义域为x>0，对函数f(x)求导得
f'(x)=a-1/x
极值点为f'(x)=0=a-1/x，即x=1/a
（1）讨论：
当a≤0时，f'(x)<0恒成立，即函数单调递减，无极值点
当a>0时，f(x)在x=1/a处取得极值，即极值点个数为1个
（2）函数在x=1处取得极值，则a=1，f(x)=x-1-lnx
f(x)≥bx-2恒成立，即(1-b)x+1≥lnx恒成立
即直线y=(1-b)x+1始终在曲线u=lnx的上方
直线过定点(0,1)，始终在曲线上方，则二者无交点
首先，直线斜率1-b必然大于0，否则必与曲线有交点，即有b<1
其次，直线斜率必大于曲线过点(0,1)的切线斜率，否则也有交点
对曲线求导得u'=1/x，即切线斜率为u'=1/x
设切点为P(m,n)，则有u'(m)=1/m=(n-1)/m => n=2
u(m)=lnm=n=2 => m=e²
直线斜率大于曲线斜率，则有 1-b>1/m=1/e²，解得b<1-1/e²
∴实数b的取值范围为b<1-1/e²
（3）e-1<y<x => x-y>0, x+1>y+1>e
ln(x+1)>ln(y+1)>1, e^(x-y)>1
令g(t)=e^t/ln(t+1), 则g'(t)=e^t[ln(t+1)-1/(t+1)]/ln²(t+1)
由于ln(t+1)-1/(t+1)=[(t+1)ln(t+1)-1]/(t+1)
在t+1>e时，有(t+1)ln(t+1)-1>0，∴g'(t)>0此时恒成立
∴g(t)在t+1>e时为增函数
∴当x>y>e-1时，有g(x)>g(y)
即e^x/ln(x+1)>e^y/ln(y+1)
两边同乘以e^(-y)*ln(x+1)即可得
e^(x-y)>{ln(x+1)}/{ln(y+1)}