Question

如图,边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处,点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上 ，点E是OA边上的点（不与点A

重合），EF⊥CE，且与正方形外交品分线AG交于点P
1.当点E坐标为（3,0）时，试证明CE＝EP
2.如果将上述条件 点E坐标为（3,0） 改为 点E坐标为（t，0），结论是否仍然成立
3，在y轴是否存在点M，使四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示M的坐标

Answer 1

1. A的坐标为（5，0） B点的坐标为（5，5） C点坐标为（0，5）
过P作PM⊥X轴，交X轴于N, 因为AP为正方形的外角平分线，所以角PAN=45度
AN=PN
设N点的坐标为(5+X, 0) 则P点的坐标为（5+X, X)
因为EF⊥CE 所以角CEO+角PEN=90度
又角ECO+角CEO=90度
所以角ECO=角PEN,
三角形CEO∽三角形PEN
则PN:OE=EN:OC
X:3=(5-3+X):5
解得X=3
因此EN=5=OC PN=3=OE
由勾股定理得， CE=EP
2. 当E点坐标为（t,0)时 同理
PN:OE=EN:OC
X:t=(5-t+X):5
t(5-t)+tX=5X
t(5-t)=(5-t)X
因为E不与A点重合， 所以5-t≠0
得X=t
因此; PN=t EN=5-t+t=5
则 CE=PE
3. 当E点坐标为（t,0)时 PE²=CE²=25+t²
又P点的坐标为（5+t, t)
BP²=(5-t)²+t²
设M点的坐标为（0，y)
则EM²=t²+y²
BM²=5²+(5-y)²
因为当BM=PE时, 5²+(5-y)²=25+t²
解得 y1=5-t y2=5+t
当y1=5-t时，
EM²=t²+y²=t²+(5-t)²=BP²
EM=BP
则，当M点为（0， 5-t)时， 四边形BMEP是平行四边形
当y2=5+t时，
EM²=t²+y²=t²+(5+t)²≠BP²
四边形BMEP不是平行四边形