Question

高一数列压轴题。

设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n∈N*，p>0)。数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值。（1）若p=1/2,q=-1/3，求b3。（2）若p=2,q=-1,求数列{bm}的前2m项和公式。（3）是否存在p和q，使得bm=3m+2(m∈N*)?如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由。 希望有详细完整的解答过程，谢谢。

Answer 1

分析：（I）先得出an，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；

（II）先得出an，再解关于n的不等式，根据{bn}的定义求得bn再求得S2m；

（III）根据bm的定义转化关于m的不等式恒成立问题．

Answer 2

1、an=n/2-1/3≥3
n≥20/3，n=7， b3=7
2、an=2n-1≥m
n≥(m+1)/2，即当m为奇数时，n=(m+1)/2，m为偶数时，n=(m+2)/2
所以b1=1, b2=b3=2, b4=b5=3.....b(2m-2)=b(2m-1)=m, b(2m)=m+1
S=b1+b2+...+b(2m)
=1+2*(2+3+...+m)+m+1
=1+(m+2)(m-1)+m+1
=m^2+2m
3、依题意，对任意m有p(3m+1)+q<m且p(3m+2)+q≥m（因为3m+2是满足an≥m的最小的n）
所以3pm+p+q<m, 3pm+2p+q≥m
(3p-1)m+p+q<0, (3p-1)m+2p+q≥0
因为两不等式对于任意m∈N*都成立
所以3p-1=0, p=1/3,且q+1/3<0, q+2/3≥0, 所以-2/3≤q≤-1/3

Answer 3

1)an=n/2-1/3,令an>=3,即n/2-1/3>=3,
n>=20/3,
满足条件的n的最小值为7
∴b3=7
2)an=2n-1,令an>=m,即2n-1>=m,n>=(m+1)/2
∴m=2k-1时,am=k;
m=2k时,n=k+1(k是正整数)
∴a2m=(1+2+……+k)+(2+3+……+k+1)(前一个括号奇数项,后一个括号是偶数项的)
=k(k+1)/2+(k+1)(k+2)/2-1=(k+1)^2-1=k^2+2k