Question

已知函数f(x)=(x+1)Inx-x+1.(1)若xf'(x)≤x^2+ax+1,求a的取值范围;(2)证明:(x-1)f(x)≥0.

已知函数f(x)=(x+1)Inx-x+1.
(1)若xf'(x)≤x^2+ax+1,求a的取值范围;
(2)证明:(x-1)f(x)≥0.

Answer 1

f'(x)=lnx+(x+1)/x-1=lnx+1/x
（1）
xf'(x)≤x^2+ax+1
即xlnx+1≤x^2+ax+1
xlnx≤x^2+ax
a≥lnx-x恒成立
设g(x)=lnx-x,需a≥g(x)max
g'(x)=1/x-1=(1-x)/x
0<x<1,g'(x)>0g(x)为增函数
x>1,g'(x)<0,g(x)为减函数
g(x)max=g(1)=-1
∴a≥-1
(2)
f'(x)=lnx+1/x
x>1时，f'(x)>0,f(x)递增，f(x)>f(1)=0
∴(x-1)f(x)>0
x=1时，（x-1)f(x)=0
0<x<1时，f'‘(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2<0
∴f'(x)递减，f'(x)>f'(1)=1>0,f(x)递增
f(x)<f(1)=0
∴(x-1)f(x)>0
综上，x>0时，总有(x-1)f(x)≥0.

Answer 2

f(x)=(x+1)Inx-x+1.
f(x)'=(x+1)/x+lnx-1=1/x+lnx
(1)
xf'(x)=1+xlnx≤x^2+ax+1
即xlnx≤x^2+ax 由题意知x＞0
故不等式等价于lnx≤x+a a≥lnx-x
令t(x)= lnx-x
t(x)'=(1-x)/x 故x∈（0,1）为增函数，x∈（1,+∞）为减函数
即t(x)max= t(1)=-1
因此a≥-1
（2）
令F(X)=(x-1)f(x)
当x∈（0,1）时，f(x)'=1/x+lnx f(x)''=(x-1)/x^2 即x∈（0,1）时， f(x)''＜0 故f(x)'为减函数
f(x)'min=f(1)'=1＞0
故f(x)在x∈（0,1）时为增函数，f(x)max＜f（1）=0
因此当x∈（0,1）时，F(X)=(x-1)f(x)＞0
当x属于[1,+∞)时，f(x)'=1/x+lnx ＞0，f(x)为增函数
f(x)min≥f（1）=0
故x属于[1,+∞)时，F(X)=(x-1)f(x)＞0
因此(x-1)f(x)≥0在x∈（0，+∞)均成立。