Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E．DF⊥BC于点F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．点P、Q分别在线

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E．DF⊥BC于点F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M，若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2，设EP=xcm，FQ=ycm．解答下列问题：
（1）直接写出当x=3时y的值；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？
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Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠B=∠C
∵OE=OC∴∠OEC=∠C
∴∠OEC=∠B∴OE∥AB
（2）证明：连接OF．
∵⊙O与AB切于点F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴OF∥EH，
又∵OE∥AB，
∴四边形OEHF为平行四边形，
∴EH=OF，
∵OF= 1/2CD= 1/2AB，
∴EH= 1/2AB．
（3）解：连接DE．
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°，
则∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴ BH/CE= BE/CD，
∵ BH/BE= 1/4，
设BH=k，
则BE=4k，
EH= 根号BE平方-BH平方=根号15k
∴CD=2EH=2根号15 k，
∴ BH/CE= BE/CD= 4k/ 2根号15k=2根号15/15 ．

Answer 2

解：①由题意得：S△BEP +S梯形EPQF+ S△FQC =10cm2

∵BE×EP×1/2+（EP+FQ）×EF×1/2+ FC×FQ×1/2=10cm2
∴2×x×1/2+（x+y）×2×1/2+2×y×1/2=10cm2
解得x+y=5 ∴当x=3时y的值为2
②由题意得：
当x有最大值为x=4，此时y有最小值y=1 同理：当y有最大值为y=4，此时x有最小值x=1所以自变量x的取值范围为1≤x≤4
③由题意得：
当EP=FQ 即x=y时，M成为等腰梯形。
∵x+y=5
∴x=2.5时M成为等腰梯形。
当点P、Q、C或B、P、Q在一条直线上时得到△M
当点P、Q、C在一条直线上时得到△BPC，S△BPC = BC×EP×1/2=10
6×x×1/2=10
解得：x=10/3 ∵x+y=5 ∴此时y=5-10/3=5/3
同理：y=10/3 x=5/3
∴当x=5/3或x=10/3时，图形M成为三角形
④线段PQ在运行过程中所能扫过的图形的面积：
由题意得：
S PQ扫=（4-1）×（2×1/2）×1/2×2=3
S BP扫= S QC扫=（4-1）×2×1/2=3
共计扫过的面积为：S PQ扫+S BP扫+S QC扫=3+3+3=9
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Answer 3

对于m，两三角形和一个梯形面积相加既为其总面积10，可分别用x，y表示，所以可解出y和x关系式
x=y时等腰梯形
y\x=cf\ce时cqp共线，
x\y=be\bf时bpq共线，m为三角形