Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-2n(n∈N*)

1）设bn=an+2,求数列{bn}的通项公式；
2）若数列{cn}满足cn=log2 bn,求数列{cn\bn}的前n项和Tn.

Answer 1

Sn=2an-2n
S(n-1)=2a(n-1)-2(n-1)
相减，Sn-S(n-1)=an
所以an=2an-2a(n-1)-2
an=2a(n-1)+2
an+2=2a(n-1)+4=2[a(n-1)+2]
(an+2)/[a(n-1)+2]=2
所以an+2是等比数列，q=2
an+2=(a1+2)*2^(n-1)
an=(a1+2)*2^(n-1)-2
a1=S1
所以a1=2a1-2*1
a1=2
a1+a2=2a2-4
a2=a1+4=6
a1+a2+a3=2a3-4
a3=2+6+4= 10
所以an是以2为首项，公差为4的等差数列
an=4*2^(n-1)+2=2^(n+1)-2

1）bn=an+2=2^(n+1)
2)cn=log2(bn)=n+1
则c1=1+1=2
c2=2+1=3
c3=3+1=4
所以cn是2为首项，公差为1的等差数列
Tn=(1+n)n/2

Answer 2

解：
(1)
S1=a1=2a1-2
a1=2
Sn=2an-2n
Sn-1=2a(n-1)-2(n-1)
an=Sn-Sn-1=2an-2n-2a(n-1)+2(n-1)=2an-2a(n-1)-2
an=2a(n-1)+2
an +2=2a(n-1) +4
(an +2)/[a(n-1)+2]=2，为定值。
a1+2=2+2=4
数列{an +2}是以4为首项，2为公比的等比数列。
bn=an +2
数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列。
bn=4×2^(n-1)=2^(n+1)
数列{bn}的通项公式为bn=2^(n+1)
(2)
cn=log2(bn)=log2[2^(n+1)]=n+1
cn/bn=(n+1)/2^(n+1)
Tn=c1/b1+c2/b2+...+cn/bn
=2/2^2+3/2^3+...+(n+1)/2^(n+1)
Tn/2=2/2^3+3/2^4+...+n/2^(n+1)+(n+1)/2^(n+2)
Tn-Tn/2=Tn/2=2/2^2+1/2^3+1/2^4+...+1/2^(n+1)-(n+1)/2^(n+2)
Tn=2/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n -(n+1)/2^(n+1)
=1/2+1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n-(n+1)/2^(n+1)
=1/2 +(1/2)[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-(n+1)/2^(n+1)
=3/2 -1/2^n- (n+1)/2^(n+1)