Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=kx也经过A点．
（1）求点A坐标；
（2）求k的值；
（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点P为x负半轴上一动点，在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N，使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a，a），
则a=3a-4，
解得a=2
∴点A（2，2）；
（2）又点A在y=kx上，
∴k=4，反比列函数为y=4/x
（3）存在．
设M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x轴
∵△ABC是等腰三角形，A（2，2）
∴OB=4
∵点M在y=4/x上
∴M（4，1）；
（4）不存在
由（3）中所证易知：
若△PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上，
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在．

Answer 2

超准！
解：（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a，a），
则a=3a-4，
解得a=2
∴点A（2，2）；
（2）又∵点A在y=k/x 上，
∴k=4，反比列函数为y=4/x ；
（3）存在．
设M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x轴
∵△ABO是等腰直角三角形，A（2，2）
∴OB=4
∵点M在y=4/x 上
∴M（4，1）；
（4）不存在
由（3）中所证易知：
假设在双曲线上存在点N，
若△PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上，
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在．
谢谢采纳！

Answer 3

：(1) 设A点的坐标为A(x,y).∵ 三角形A OB为等腰直角三角形，且斜边为OB(在X 轴上), ∴x=y=(1/2)|OB| 直线y=3x-4与X轴和Y轴分别交易D(4/3,0 )和C(0,-4). 直线y=4x-3的斜率可以用下式表示：y/(x -4/3)=3. ---->y/(y-4/3)=3 【x=y】 y=3*(y-4/3), y=2. ∴A点的坐标为A(2,2) ----答1. (2)双曲线y=k/x, 过A(2,2)点，2=k/2, ∴k=4. ----答2. (3) 设双曲线上点M(x1,y1),X轴上的动点P (xp,0). 列三个方程：AM^2+AP^2=MP^2 (x1-2)^2+(y1-2)^2+(xp-2)^2+2^2=(x1-xp )^2+(y1-0)^2 (1)； AM^2=AP^2. (x1-2)^2+(y1-2)^2=(xp-2)^2+(2-0)^2 (2) ∴M(x1,y1)在双曲线y=4/x上， y1=4/x1. (3). 三个方程含三个未知数x1,y1,xp, 从分析 角度看，应该存在M(x1,y1),但要解出三 个未知数后才能确定。解方程太麻烦了， 没有时间，请自己动一下手。 P点在X轴负半轴上的情况，解题思路同 上。

Answer 4

解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
则有：3k=3，k=1；
∴直线OA的解析式为y=x；

（2）当x=6时，y=

12

x=3，
∴C（6，3）；
将C代入抛物线的解析式中，
得：36a+12=3，a=-

14

；
即a的值为-

14

；

（3）根据题意，D（3，0），B（6，0）．
∵点P的横坐标为m，PE∥y轴交OA于点E，
∴E（m，m）．
当0＜m＜3时，如图1，
S=S△OAB-S△OED
=

12
×6×3-
12
×3m=-
32
m+9
．
当m＞3时，如图2，
S=S△OBE-S△ODA
=

12
×6×m-
12
×3×3

=
3m-
92

．

（4）m=
3-
3
或m=
94
或3≤m＜4
．
提示：
如图3、RQ=RN时，m=3-

3

；
如图4、AD所在的直线为矩形RQMN的对称轴时，m=

94

；
如图5、RQ与AD重合时，重叠部分为等腰直角三角形，m=3；
如图6、当点R落在AB上时，m=4，所以3≤m＜4．