Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=kx也经过A点．
（1）求点A坐标；
（2）求k的值；
（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点P为x负半轴上一动点，在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N，使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a，a），
则a=3a-4，
解得a=2
∴点A（2，2）；…（3分）

（2）又点A在y=kx上，
∴k=4，反比列函数为y=4x；…（5分）

（3）存在． …（6分）
设M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°

∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x轴
∵△ABC是等腰三角形，A（2，2）
∴OB=4
∵点M在y=4x上
∴M（4，1）；…（9分）

（4）不存在 …（10分）
由（3）中所证易知：
若△PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上，
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在．评论|赞同0

检举|2013-03-19 21:25蝶梦翩翩511|二级解：（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a，a），
则a=3a-4，
解得a=2
∴点A（2，2）；
（2）又点A在y=kx上，
∴k=4，反比列函数为y=4/x
（3）存在．
设M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x轴
∵△ABC是等腰三角形，A（2，2）
∴OB=4
∵点M在y=4/x上
∴M（4，1）；
（4）不存在
由（3）中所证易知：
若△PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上，
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在．评论(1)|已赞3

检举|2012-06-18 21:30所谓伊人people|二级解：（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a，a），
则a=3a-4，
解得a=2
∴点A（2，2）；…（3分）

（2）又点A在y=kx上，
∴k=4，反比列函数为y=4x；…（5分）

（3）存在． …（6分）
设M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x轴
∵△ABC是等腰三角形，A（2，2）
∴OB=4
∵点M在y=4x上
∴M（4，1）；…（9分）

（4）不存在 …（10分）
由（3）中所证易知：
若△PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上，
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在．评论(1)|已赞3

检举|2012-04-20 20:24Angel丿膤ル|来自手机知道|三级如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边 OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角 顶点A，交y轴于C点，双曲线y= k/x（x＞0）也恰 好经过点A． （1）求k的值； （2）如图2，过O点作OD⊥AC于D点，求CD²-AD² 的值； （3）如图3，点P为x轴上一动点．在（1）中的双 曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角 顶点的等腰三角形．若存在，求出点P、点Q的坐 标，若不存在，请说明理由． 分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x 轴于N点．由于△AOB是等腰直角三角形，得出AM =AN，即点A的横坐标与纵坐标相等．设点A的坐标 为（a，a），又点A在直线y=3x-4上，列出关于a 的方程，求出a的值，进而得到k的值； （2）由（1）知点A的坐标为（2，2），根据勾股 定理得出AO²=AM²+MO²=8．由点C为直线y=3x-4 与y轴的交点，得出OC²=16．根据勾股定理及等式 的性质得出CD²-AD²=OC²-OA²=8； （3）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接A Q，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AO P≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰 直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与 点的坐标的关系得出结果． 解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴 于N点，△AOB是等腰直角三角形， ∴AM=AN． 设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上， ∴a=3a-4， 解得a=2， 则点A的坐标为（2，2）． 设此反比例函数的解析式为y= x/k．将点A（2，2 ）代入， 求得k=4． 则反比例函数的解析式为y= 4/x．

（2）点A的坐标为（2，2），在Rt△AMO中，AO² =AM²+MO²=4+4=8． ∵直线AC的解析式为y=3x-4，则点C的坐标为（0 ，-4），OC=4． 在Rt△COD中，OC²=OD²+CD²（1）； 在Rt△AOD中，AO²=AD²+OD²（2）； （1）-（2），得CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8．

（3）双曲线上是存在一点Q（4，1），使得△PAQ 是等腰直角三角形．过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q 点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△A PQ为所求作的等腰直角三角形． 在△AOP与△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB ， ∴∠OAP=∠BAQ， AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°， ∴△AOP≌△ABQ（ASA）， ∴AP=AQ， ∴△APQ是所求的等腰直角三角形． ∵B（4，0），点Q在双曲线y= 4/x上， ∴Q（4，1），则OP=BQ=1． 则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（4，1）．评论|已赞5

检举|2012-04-14 20:22marioindanyang|四级解：(1) 设A点的坐标为A(x,y).
∵ 三角形AOB为等腰直角三角形，且斜边为OB(在X轴上),
∴x=y=(1/2)|OB|
直线y=3x-4与X轴和Y轴分别交易D(4/3,0)和C(0,-4).
直线y=4x-3的斜率可以用下式表示：y/(x-4/3)=3. ---->y/(y-4/3)=3 /(x=y )
y=2.
∴A点的坐标为A(2,2) ----答1.
(2)双曲线y=k/x, 过A(2,2)点，2=k/2,
∴k=4. ----答2.
(3) 设双曲线上点M(x1,y1),X轴上的动点P(xp,0).
列三个方程：AM^2+AP^2=MP^2
(x1-2)^2+(y1-2)^2+(xp-2)^2+2^2=(x1-xp)^2+(y1-0)^2 (1)；
AM^2=AP^2.
(x1-2)^2+(y1-2)^2=(xp-2)^2+(2-0)^2 (2)
∴M(x1,y1)在双曲线y=4/x上，
y1=4/x1. (3).
三个方程含三个未知数x1,y1,xp, 从分析角度看，应该存在M(x1,y1),但要解出三个未知数后才能确定。解方程太麻烦了，没有时间，请自己动一下手。
P点在X轴负半轴上的情况，解题思路同上。评论|已赞4

检举|2012-04-13 06:43xwh1625081942|四级kyt评论(1)|赞同2
检举|2012-04-12 21:20by瑞士的海绵|四级如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y= k/x（x＞0）也恰好经过点A．
（1）求k的值；
（2）如图2，过O点作OD⊥AC于D点，求CD²-AD²的值；
（3）如图3，点P为x轴上一动点．在（1）中的双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点P、点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点．由于△AOB是等腰直角三角形，得出AM=AN，即点A的横坐标与纵坐标相等．设点A的坐标为（a，a），又点A在直线y=3x-4上，列出关于a的方程，求出a的值，进而得到k的值；
（2）由（1）知点A的坐标为（2，2），根据勾股定理得出AO²=AM²+MO²=8．由点C为直线y=3x-4与y轴的交点，得出OC²=16．根据勾股定理及等式的性质得出CD²-AD²=OC²-OA²=8；
（3）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．
解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
则点A的坐标为（2，2）．
设此反比例函数的解析式为y= x/k．将点A（2，2）代入，
求得k=4．
则反比例函数的解析式为y= 4/x．

（2）点A的坐标为（2，2），在Rt△AMO中，AO²=AM²+MO²=4+4=8．
∵直线AC的解析式为y=3x-4，则点C的坐标为（0，-4），OC=4．
在Rt△COD中，OC²=OD²+CD²（1）；
在Rt△AOD中，AO²=AD²+OD²（2）；
（1）-（2），得CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8．

（3）双曲线上是存在一点Q（4，1），使得△PAQ是等腰直角三角形．过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△APQ为所求作的等腰直角三角形．
在△AOP与△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），点Q在双曲线y= 4/x上，
∴Q（4，1），则OP=BQ=1．
则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（4，1）．评论(8)|已赞29

检举|2012-04-11 15:03ZCX0874|十四级解：(1) 设A点的坐标为A(x,y).∵ 三角形AOB为等腰直角三角形，且斜边为OB(在X轴上),
∴x=y=(1/2)|OB|
直线y=3x-4与X轴和Y轴分别交易D(4/3,0)和C(0,-4).
直线y=4x-3的斜率可以用下式表示：y/(x-4/3)=3. ---->y/(y-4/3)=3 【x=y】
y=3*(y-4/3),
y=2.
∴A点的坐标为A(2,2) ----答1.
(2)双曲线y=k/x, 过A(2,2)点，2=k/2,
∴k=4. ----答2.
(3) 设双曲线上点M(x1,y1),X轴上的动点P(xp,0).
列三个方程：AM^2+AP^2=MP^2
(x1-2)^2+(y1-2)^2+(xp-2)^2+2^2=(x1-xp)^2+(y1-0)^2 (1)；
AM^2=AP^2.
(x1-2)^2+(y1-2)^2=(xp-2)^2+(2-0)^2 (2)
∴M(x1,y1)在双曲线y=4/x上，
y1=4/x1. (3).
三个方程含三个未知数x1,y1,xp, 从分析角度看，应该存在M(x1,y1),但要解出三个未知数后才能确定。解方程太麻烦了，没有时间，请自己动一下手。
P点在X轴负半轴上的情况，解题思路同上。

Answer 2

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y= k/x（x＞0）也恰好经过点A．
（1）求k的值；
（2）如图2，过O点作OD⊥AC于D点，求CD²-AD²的值；
（3）如图3，点P为x轴上一动点．在（1）中的双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点P、点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点．由于△AOB是等腰直角三角形，得出AM=AN，即点A的横坐标与纵坐标相等．设点A的坐标为（a，a），又点A在直线y=3x-4上，列出关于a的方程，求出a的值，进而得到k的值；
（2）由（1）知点A的坐标为（2，2），根据勾股定理得出AO²=AM²+MO²=8．由点C为直线y=3x-4与y轴的交点，得出OC²=16．根据勾股定理及等式的性质得出CD²-AD²=OC²-OA²=8；
（3）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．
解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
则点A的坐标为（2，2）．
设此反比例函数的解析式为y= x/k．将点A（2，2）代入，
求得k=4．
则反比例函数的解析式为y= 4/x．

（2）点A的坐标为（2，2），在Rt△AMO中，AO²=AM²+MO²=4+4=8．
∵直线AC的解析式为y=3x-4，则点C的坐标为（0，-4），OC=4．
在Rt△COD中，OC²=OD²+CD²（1）；
在Rt△AOD中，AO²=AD²+OD²（2）；
（1）-（2），得CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8．

（3）双曲线上是存在一点Q（4，1），使得△PAQ是等腰直角三角形．过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△APQ为所求作的等腰直角三角形．
在△AOP与△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），点Q在双曲线y= 4/x上，
∴Q（4，1），则OP=BQ=1．
则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（4，1）．

Answer 3

解：(1) 设A点的坐标为A(x,y).∵ 三角形AOB为等腰直角三角形，且斜边为OB(在X轴上),
∴x=y=(1/2)|OB|
直线y=3x-4与X轴和Y轴分别交易D(4/3,0)和C(0,-4).
直线y=4x-3的斜率可以用下式表示：y/(x-4/3)=3. ---->y/(y-4/3)=3 【x=y】
y=3*(y-4/3),
y=2.
∴A点的坐标为A(2,2) ----答1.
(2)双曲线y=k/x, 过A(2,2)点，2=k/2,
∴k=4. ----答2.
(3) 设双曲线上点M(x1,y1),X轴上的动点P(xp,0).
列三个方程：AM^2+AP^2=MP^2
(x1-2)^2+(y1-2)^2+(xp-2)^2+2^2=(x1-xp)^2+(y1-0)^2 (1)；
AM^2=AP^2.
(x1-2)^2+(y1-2)^2=(xp-2)^2+(2-0)^2 (2)
∴M(x1,y1)在双曲线y=4/x上，
y1=4/x1. (3).
三个方程含三个未知数x1,y1,xp, 从分析角度看，应该存在M(x1,y1),但要解出三个未知数后才能确定。解方程太麻烦了，没有时间，请自己动一下手。
P点在X轴负半轴上的情况，解题思路同上。

Answer 4

解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
则有：3k=3，k=1；
∴直线OA的解析式为y=x；
当x=6时，y=1/ 2x=3

∴C（6，3）；
将C（6，3）代入抛物线的解析式中，
得：36a+12=3，a=-1/ 4    ；
即a的值为-1/4  

Answer 5

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边 OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角 顶点A，交y轴于C点，双曲线y= k/x（x＞0）也恰 好经过点A． （1）求k的值； （2）如图2，过O点作OD⊥AC于D点，求CD²-AD² 的值； （3）如图3，点P为x轴上一动点．在（1）中的双 曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角 顶点的等腰三角形．若存在，求出点P、点Q的坐 标，若不存在，请说明理由． 分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x 轴于N点．由于△AOB是等腰直角三角形，得出AM =AN，即点A的横坐标与纵坐标相等．设点A的坐标 为（a，a），又点A在直线y=3x-4上，列出关于a 的方程，求出a的值，进而得到k的值； （2）由（1）知点A的坐标为（2，2），根据勾股 定理得出AO²=AM²+MO²=8．由点C为直线y=3x-4 与y轴的交点，得出OC²=16．根据勾股定理及等式 的性质得出CD²-AD²=OC²-OA²=8； （3）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接A Q，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AO P≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰 直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与 点的坐标的关系得出结果． 解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴 于N点，△AOB是等腰直角三角形， ∴AM=AN． 设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上， ∴a=3a-4， 解得a=2， 则点A的坐标为（2，2）． 设此反比例函数的解析式为y= x/k．将点A（2，2 ）代入， 求得k=4． 则反比例函数的解析式为y= 4/x．

（2）点A的坐标为（2，2），在Rt△AMO中，AO² =AM²+MO²=4+4=8． ∵直线AC的解析式为y=3x-4，则点C的坐标为（0 ，-4），OC=4． 在Rt△COD中，OC²=OD²+CD²（1）； 在Rt△AOD中，AO²=AD²+OD²（2）； （1）-（2），得CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8．

（3）双曲线上是存在一点Q（4，1），使得△PAQ 是等腰直角三角形．过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q 点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△A PQ为所求作的等腰直角三角形． 在△AOP与△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB ， ∴∠OAP=∠BAQ， AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°， ∴△AOP≌△ABQ（ASA）， ∴AP=AQ， ∴△APQ是所求的等腰直角三角形． ∵B（4，0），点Q在双曲线y= 4/x上， ∴Q（4，1），则OP=BQ=1． 则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（4，1）．