Question

已知不等式ax^2+2x+1>0在x∈[-1,2]上恒成立,求实数a的取值范围

哦，不！错了！x∈[-1,2]应该是x∈[-2,1]上ToT

Answer 1

ax^2+2x+1>0在x∈[-2,1]上恒成立,
即ax^2>-2x-1
当x=0时，原式即0>-1成立
当x≠0时，则需a>-2/x-1/x^2恒成立
令t=1/x,∵x∈[-2,1],x≠0
∴t=1/x∈(-∞,-1/2]U[1,+∞)
∴y=-2/x-1/x^2=-t^2-2t=-(t+1)^2+1
(草稿纸上画出图形得）
t=-1时，y取得最大值，1
∴a>1
问题改变结果不变，有疑问，请追问

Answer 2

解：令f(x)=ax²+2x+1,
当a>0时，①当-b/2a<-1，即-1/a<-1时，f(-1)>0,解得：0<a<1
②当-1≤-b/2a≤2,即-1≤-1/a≤2时,f(-1/a)>0,解得:a>1
③当-b/2a>2，即-1/a>2时，f(2)>0，解得:无解
当a=0时，f(x)=2x+1,令f(x)>0,解得:x>-0.5,不符题意
当a<0时，①当-b/2a<-1，即-1/a<-1时，f(2)>0，解得:无解
②当-1≤-b/2a≤2,即-1≤-1/a≤2时,f(-1)>0,f(2)>0，解得：无解
③当-b/2a>2，即-1/a>2时，f(-1)>0，解得：无解
综上所述：0<a<1或a>1