Question

已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆C的离心率为2分之一且经过点（-1,2分之3）

过点p（2,1）的直线l与椭圆C的第一象限相切点与点M。
1、求椭圆C的方程。
2、求直线L的方程以及点M的坐标。
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Answer 1

解：1. e=c/a=1/2=a^, c=a/2.
c^2=a^2-b^2,
b^2=^2-c^2,
=a^2-(a/2)^2,
=(3/4)^2.
设所求椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1. （1）
将(-1,3/2)代入(1)方程中：
(-1)^2/a^2+(3/2)^2/b^2=1.
4b^2+9a^2=4a^2b^2. (2).
将b^2=(3/4)a2,代入(2)式中：
4*(3/4)a^2+9a^2=4a^2*(3/4)a^2. 约去a^2,得：
3a^2=12.
a^2=4.
b^2=(3/4)a^2=3.
∴所求的椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1. (1')

2. 设过p(2,1)的直线方程为：y=k(x-2)+1. (*)
将(*)代入椭圆方程式(1')中：
x^2/4+[k(x-2)+1]^2/3=1.
3x^2+4(k(x-2)+1]^2=12. 展开，整理后，得：
(3+4k^2)x^2-(16k^2-8k)x+16k^2-16k-8=0.
判别式△=(16k^2-8k)^2-4*(3+4k^2)*(16k^2-16k-8).
△=256k^4-256k^3+64k^2-192k^2+192k+96-256k^4+256k^3+128k^2
=192k+96.
令 △=0，【直线与椭圆相切】
192k+96=0,
k=-1/2.
过P(2,1)点的直线方程为：y=((-1/2)(x-2)+1.
即，y=-(1/2)x+2..
再将y=-(1/2)x+2 代入椭圆方程 x^2/4+y^2/3=1 中，化简后，得到：
x=1,
y=3/2.
∴所求切点M的坐标为：M(1,3/2).

Answer 2

1、c/a=1/2 把点坐标代入，另外 a方=b方+c方 能求出来